Cum se divide logaritmele

Deși logaritmele par dificil de utilizat, este doar o chestiune de învățare a tehnicilor corecte, așa cum este cazul exponenților sau polinomilor. Pentru a împărți două logaritme care au aceeași bază sau pentru a extinde un logaritm care conține un coeficient, ar trebui să cunoașteți numai câteva proprietăți de bază.

conținut

Pași
Metoda 1split logaritms de mână
Metoda 2lucrați cu logaritmul unui coeficient

pași

Metoda 1
Split logaritms de mână

Imaginea intitulată Împărțiți logaritmii Pasul 1

Verificați dacă există numere negative și altele. Această metodă va aborda problemele care au forma

{ displaystyle { frac { log_ {b} (x)} { log_ {a}}}}}

înregistra⁡(-3){ displaystyle log (-3)}sau

{ displaystyle log _ {4} (- 5)}

). În acest caz, trebuie să scrieți "nu există nicio soluție".

Logaritmul de zero este, de asemenea, nedefinit în toate bazele. Dacă întâlnești un termen cum ar fi

{ displaystyle ln (0)}

înregistra⁡(1){ displaystyle log (1)}) este întotdeauna egal cu zero. Acest lucru se datorează faptului

{ displaystyle x ^ {0} = 1}

pentru toate valorile x. În acest caz, în locul metodei de mai jos, înlocuiți acest logaritm cu 1.

Dacă două logaritme au baze diferite, ca în cazul lui

{ displaystyle { frac {log_ {3} (x)} {log_ {4} (a)}}}

Imaginea intitulată Divide logaritmii Pasul 2

Transformați expresia într-un logaritm. Acum, puteți simplifica problema până când obțineți un singur logaritm (presupunând că nu aplicați niciuna dintre excepțiile menționate mai sus). Pentru a face acest lucru, utilizați formula

{ displaystyle { frac { log_ {b} (x)} { log_ {a}}} = log_ {a} (x)}

înregistra16înregistra2{ displaystyle { frac { log {16}} { log {2}}}}înregistra16înregistra2=înregistra2⁡(16){ displaystyle { frac { log {16}} { log {2}}} = log _ {2}

Imaginea intitulată Divide logaritms Pasul 3

Efectuați calculul manual, dacă este posibil. Amintiți-vă că ar trebui să luați în considerare expresia "

{ displaystyle a ^ {?} = x}

" sau "Ce exponent pot ridica a pentru a obține x?" pentru a putea rezolva ${ displaystyle log _ {a} (x)}$ înregistra2⁡(16){ displaystyle log 2 (16)}ca ${ displaystyle 2 ^ {?} = 16}$ 22=2*2=4{ displaystyle 2 ^ {2} = 2 * 2 = 4}
${ displaystyle 2 ^ {3} = 4 * 2 = 8}$
${ displaystyle 2 ^ {4} = 8 * 2 = 16}$
Răspunsul pe care îl căutați a fost de 16 ani ${ displaystyle log 2 (16)}$ = 4.

Lăsați răspunsul sub forma unui logaritm dacă nu îl puteți simplifica. Este foarte dificil să rezolvați manual unele logaritme, deci, dacă aveți nevoie de răspuns în scopuri practice, poate fi necesar să utilizați un calculator. Pe de altă parte, dacă veți rezolva problema pentru o clasă de matematică, este probabil că profesorul așteaptă ca răspunsul să fie sub forma unui logaritm. Acesta este un alt exemplu de aplicare a acestei metode la o problemă mai dificilă:

Exemplul 2: cât de mult este ${ displaystyle { frac { log_ {3} (58)} { log_ {3} (7)}}}$ înregistra3⁡(58)înregistra3⁡(7)=înregistra7⁡(58){ displaystyle { frac { log_ {3} (58)} { log_ {3} (7)}} = log_ {7}7?=58{ displaystyle 7 ^ {?} = 58}și încercați câteva valori posibile pentru "?":
${ displaystyle 7 ^ {2} = 7 * 7 = 49}$
${ displaystyle 7 ^ {3} = 49 * 7 = 343}$
58 este între cele două numere, deci nici unul dintre răspunsurile de la ${ displaystyle log _ {7} (58)}$ Va fi un număr întreg.

Lăsați răspunsul ca ${ displaystyle log _ {7} (58)}$
Metoda 2
Lucrați cu logaritmul unui coeficient

Începe cu o problemă de divizare în cadrul unui logaritm. Această secțiune vă va învăța cum să rezolvați problemele care conțin expresii în formular ${ displaystyle log _ {a} {{frac {x} {y}})}$ înregistra3⁡(276n)=-6-înregistra3⁡(6){ displaystyle log_ {3} ({ frac {27} {6n}}) = - 6 log_ {3} (6)}".

Imaginea intitulată Divide logaritms Pasul 6

Verificați dacă există numere negative. Logaritul unui număr negativ este nedefinit, deci dacă x sau și sunt numere negative, trebuie să confirmați că problema are o soluție înainte de a putea continua.

dacă x sau și este un număr negativ, problema nu va avea nicio soluție.

dacă ambele sunt numere negative, utilizați proprietatea ${ displayractie { frac {-x} {- y}} = { frac {x} {y}}}$ pentru a elimina semnele.

Problema exemplului nu conține logaritme de numere negative, astfel încât să puteți trece la pasul următor.

Imagine intitulată Divide logaritms Pasul 7

Extindeți coeficientul până veți obține două logaritme. Formula

{ displaystyle log _ {a} ({ frac {x} {y}}) = log _ {a} (x)

descrie o proprietate utilă de logaritmi, care prevede că logaritmul unui raport egal cu logaritmul întotdeauna numărător minus logaritmul numitor.

Utilizați această formulă pentru a extinde partea stângă a problemei:

{ displaystyle log_ {3} ({ frac {27} {6n}}) = log_ {3} (27) - log_ {3} (6n)}

înregistra3⁡(276n)=-6-înregistra3⁡(6){ displaystyle log_ {3} ({ frac {27} {6n}}) = - 6 log_ {3} (6)}
→

{ displaystyle log_ {3} (27) - log_ {3} (6n) = - 6 log_ {3} {6}}

Imaginea intitulată Divide logaritms Pasul 8

Simplificați logaritmele dacă puteți. Dacă răspunsul oricăror dintre noile logaritme din expresie este un număr întreg, le puteți simplifica în acest pas.

În problema exemplului, există un nou termen:

{ displaystyle log _ {3} (27)}

înregistra3⁡(27){ displaystyle log _ {3} (27)}până ajungeți 3.

Acum, ecuația completă este următoarea:

{ displaystyle 3- log_ {3} (6n) = - 6- {log_ {3}}

Imaginea intitulată Împărțiți logaritmii Pasul 9

Izolați variabila. Va fi util să izolați termenul care conține variabila pe o parte a ecuației, așa cum ați proceda în orice problemă de algebră. Ori de câte ori este posibil, simplificați ecuația prin combinarea unor termeni similari.

{ displaystyle 3- log_ {3} (6n) = - 6- {log_ {3}}

{ displaystyle 9- log_ {3} (6n) = - log 3 (6)}

{ displaystyle log_ {3} (6n) = 9 + log 3 (6)}

Imaginea intitulată Divide logaritms Pasul 10

Utilizați proprietățile suplimentare ale logaritmilor, după cum este necesar. Dacă doriți să izolați variabila de ceilalți termeni în același logaritm, puteți rescrie termenul prin alte proprietati logaritmice.

În problema exemplului, n este încă prins înăuntru ${ displaystyle log_ {3} (6n)}$ înregistrala⁡(bc)=înregistrala⁡(b)+înregistrala(c){ displaystyle log_ {a} (bc) = log_ {a} (b) + log {a} (c)}
${ displaystyle log_ {3} (6n) = log_ {3} (6) + log_ {3} (n)}$

Înlocuiți rezultatul în ecuația completă:

{ displaystyle log_ {3} (6n) = 9 + log 3 (6)}

{ displaystyle log_ {3} (6) + log_ {3} (n) = 9 + log_ {3} (6)}

Imaginea intitulată Divide logaritms Pasul 11

Continuați să simplificați până veți obține soluția. Rezolvați problema utilizând din nou aceleași tehnici algebrice și logaritmice. Dacă soluția la problemă nu este un număr întreg, rotunde la cea mai apropiată figură semnificativă cu un calculator.