ertare.com

Cum să găsim unghiul între două vectori

Matematicienii și programatorii grafici trebuie adesea să găsească unghiul între doi vectori determinați. Din fericire, formula pentru a efectua acest calcul nu necesită nimic mai avansat decât un produs scalar. În timp ce este mai ușor să înțelegeți raționamentul din spatele acestui aspect în două dimensiuni, puteți extinde formula la vectori cu orice număr de componente.

pași

Partea 1
Găsiți unghiul dintre două vectori

Imaginea intitulată Găsiți unghiul între doi vectori Pasul 01
1
Identificați vectori Înregistrați toate informațiile pe care le aveți referitoare la cele două vectori. Aici vom presupune că aveți numai definiția vectorului în ceea ce privește coordonatele sale dimensionale (numite și componente). Dacă știți deja lungimea unui vector (magnitudinea lui), puteți omite unii dintre următorii pași.
  • Exemplu: vectorul bidimensional sau→{ displaystyle { overrightarrow {u}}}= (2,2). vector v→{ displaystyle { overrightarrow {v}}}= (0,3). Acestea pot fi, de asemenea, scrise ca sau→{ displaystyle { overrightarrow {u}}}= 2i + 2j și v→{ displaystyle { overrightarrow {v}}}= 0i + 3j = 3j.
  • În timp ce exemplul nostru utilizează vectori bidimensionali, instrucțiunile de mai jos acoperă vectori cu orice număr de componente.
  • Imaginea intitulată Găsiți unghiul între două vectori Pasul 02
    2
    Scrieți formula cosinusului. Pentru a găsi unghiul θ între două vectori, începeți cu formula pentru a găsi cosinusul unghiului. Puteți afla această formulă în următoarea secțiune a articolului sau o puteți scrie:
  • cosθ = (sau→{ displaystyle { overrightarrow {u}}}• v→{ displaystyle { overrightarrow {v}}}) / (||sau→{ displaystyle { overrightarrow {u}}}|| ||v→{ displaystyle { overrightarrow {v}}}||)
  • ||sau→{ displaystyle { overrightarrow {u}}}|| mijloace "lungimea vectorului sau→{ displaystyle { overrightarrow {u}}}".
  • sau→{ displaystyle { overrightarrow {u}}}• v→{ displaystyle { overrightarrow {v}}}este produsul scalar (sau produsul punctual) al celor doi vectori explicați mai jos.
  • Imaginea intitulată Găsiți unghiul între doi vectori Pasul 03
    3
    Calculați lungimea fiecărui vector. Desenați un triunghi drept care pornește de la componenta "x" a vectorului, componenta "y" și vectorul în sine. Vectorul formează ipotenuza triunghiului, astfel încât să găsească lungimea sa va folosi teorema lui Pitagora. Ca rezultat, această formulă se extinde ușor la vectori cu orice număr de componente.
  • ||sau|| = u1 + sau2. Dacă un vector are mai mult de două componente, pur și simplu continuați să adăugați + u3 + sau4 + ...
  • Prin urmare, pentru un vector bidimensional, ||sau|| = √ (u1 + sau2).
  • În exemplul nostru, ||sau→{ displaystyle { overrightarrow {u}}}|| = √ (2 + 2) = √ (8) = 2√2. ||v→{ displaystyle { overrightarrow {v}}}|| = √ (0 + 3) = √ (9) = 3.
  • Imaginea intitulată Găsiți unghiul între doi vectori Pasul 04
    4
    Calculați produsul scalar al celor două vectori. Probabil ați învățat deja această metodă de multiplicare vectorială, cunoscută și sub numele de produs scalar. Pentru a calcula produsul scalar în ceea ce privește componentele vectoriale, înmulțiți componentele în fiecare direcție și apoi adăugați toate rezultatele.
  • Pentru programele pentru computere, consultați secțiunea Sfaturi înainte de a continua.
  • În termeni matematici, sau→{ displaystyle { overrightarrow {u}}}• v→{ displaystyle { overrightarrow {v}}}= u1v1 + sau2v2, unde u = (u1, sau2). Dacă vectorul are mai mult de două componente, pur și simplu continuați să adăugați + u3v3 + sau4v4...
  • În exemplul nostru, sau→{ displaystyle { overrightarrow {u}}}• v→{ displaystyle { overrightarrow {v}}}= u1v1 + sau2v2 = (2) (0) + (2) (3) = 0 + 6 = 6. Acesta este produsul scalar al vectorului sau→{ displaystyle { overrightarrow {u}}}și v→{ displaystyle { overrightarrow {v}}}
    Imaginea intitulată Găsiți unghiul între doi vectori Pasul 05
    5
    Înlocuiți rezultatele în formula. Amintiți-vă, cosθ = ((sau→{ displaystyle { overrightarrow {u}}}v→{ displaystyle { overrightarrow {v}}}) / (||sau→{ displaystyle { overrightarrow {u}}}|| ||v→{ displaystyle { overrightarrow {v}}}||). Acum știi produsul scalar și lungimea fiecărei valori. Introduceți aceste rezultate în această formulă pentru a calcula cosinusul unghiului.
  • În exemplul nostru, cosθ = 6 / (2√2 * 3) = 1 / √2 = √2 / 2.
  • Imaginea intitulată Găsiți unghiul între doi vectori Pasul 06
    6
    Găsiți unghiul bazat pe cosinus. Puteți folosi funcția acos sau cos a calculatorului dvs. pentru a găsi unghiul θ de la o valoare cunoscută de cos. Pentru unele rezultate, puteți rezolva unghiul bazat pe cerc unitate.
  • În exemplul nostru, cosθ = √2 / 2. Scrieți "arcuri (√2 / 2)" în calculatorul dvs. pentru a găsi unghiul. De asemenea, puteți găsi unghiul θ în cercul unității unde cosθ = √2 / 2. Acest lucru este valabil pentru θ = /4 sau 45º.
  • Prin îmbinarea tuturor, formula finală va fi: unghiul θ = arcsine ((sau→{ displaystyle { overrightarrow {u}}}• v→{ displaystyle { overrightarrow {v}}}) / (||sau→{ displaystyle { overrightarrow {u}}}|| ||v→{ displaystyle { overrightarrow {v}}}||))

    • Partea 2
    Definiți formula de unghi



    Imagine cu titlul Deveniți un profesor de colegiu Pasul 17
    1
    Înțelegeți scopul acestei formule. Această formulă nu a fost derivată din regulile existente. În schimb, a fost creată ca o definiție a produsului scalar al două vectori și unghiul dintre ele. Cu toate acestea, această decizie nu a fost arbitrară. Dacă ne amintim geometria de bază, putem vedea motivul pentru care această formulă dă naștere definițiilor intuitive și utile.
    • Exemplele descrise mai jos utilizează vectori bidimensionali deoarece sunt cei mai intuitivi de utilizat. Vectorii cu trei sau mai multe componente au proprietăți care sunt definite cu o formulă generală foarte asemănătoare.
  • Imaginea intitulată Găsiți unghiul între două vectori Pasul 08
    2
    Verificați teorema cosinusului. Luați un triunghi obișnuit cu unghiul θ între laturile a și b și pe partea opusă c. Teorema cosine indică faptul că c = a + b -2abcos (θ). Acest lucru este derivat destul de simplu din geometria de bază.
  • Imaginea intitulată Găsiți unghiul între doi vectori Pasul 09
    3
    Conectați doi vectori pentru a forma un triunghi. Desenați o pereche de vectori 2D pe hârtie, vectori a&# 8407- și b→{ displaystyle { overrightarrow {b}}}la→{ displaystyle { overrightarrow {a}}}c→{ displaystyle { overrightarrow {c}}}= b→{ displaystyle { overrightarrow {b}}}c→{ displaystyle { overrightarrow {c}}}= la→{ displaystyle { overrightarrow {a}}}b→{ displaystyle { overrightarrow {b}}}
    Imaginea intitulată Găsiți unghiul între doi vectori Pasul 10
    4
    Scrieți teorema cosine pentru acest triunghi. Introduceți lungimea laturilor "vector triunghi" în teorema Cosine:
  • ||(a - b)|| = ||la|| + ||b|| - 2||la|| ||b||cos (θ)
  • Imaginea intitulată Găsiți unghiul între doi vectori Pasul 11
    5
    Scrie-l folosind produsul scalar. Amintiți-vă că un produs scalar este mărirea unui vector care este proiectat în altul. Produsul scalar al unui vector în sine nu necesită nici o proiecție, deoarece nu există nici o diferență în direcție. Aceasta înseamnă că a&# 8407- • la→{ displaystyle { overrightarrow {a}}}= ||la||. Utilizați aceste informații pentru a rescrie ecuația:
  • (la→{ displaystyle { overrightarrow {a}}}b→{ displaystyle { overrightarrow {b}}}) • (la→{ displaystyle { overrightarrow {a}}}b→{ displaystyle { overrightarrow {b}}}) = la→{ displaystyle { overrightarrow {a}}}• la→{ displaystyle { overrightarrow {a}}}b→{ displaystyle { overrightarrow {b}}}• b→{ displaystyle { overrightarrow {b}}}||la|| ||b||cos (θ)
  • Imaginea intitulată Găsiți unghiul între doi vectori Pasul 12
    6
    Rescrieți-o în formula familiei. Extindeți partea stângă a formulei și apoi simplificați pentru a obține formula folosită pentru a găsi unghiuri.
  • la→{ displaystyle { overrightarrow {a}}}• la→{ displaystyle { overrightarrow {a}}}la→{ displaystyle { overrightarrow {a}}}• b→{ displaystyle { overrightarrow {b}}}b→{ displaystyle { overrightarrow {b}}}• la→{ displaystyle { overrightarrow {a}}}b→{ displaystyle { overrightarrow {b}}}• b→{ displaystyle { overrightarrow {b}}}= la→{ displaystyle { overrightarrow {a}}}• la→{ displaystyle { overrightarrow {a}}}b→{ displaystyle { overrightarrow {b}}}• b→{ displaystyle { overrightarrow {b}}}||la|| ||b||cos (θ)
  • - la→{ displaystyle { overrightarrow {a}}}• b→{ displaystyle { overrightarrow {b}}}b→{ displaystyle { overrightarrow {b}}}• la→{ displaystyle { overrightarrow {a}}}= -2||la|| ||b||cos (θ)
  • -2 (la→{ displaystyle { overrightarrow {a}}}• b→{ displaystyle { overrightarrow {b}}}) = -2||la|| ||b||cos (θ)
  • la→{ displaystyle { overrightarrow {a}}}• b→{ displaystyle { overrightarrow {b}}}= ||la|| ||b||cos (θ)

    • sfaturi

    • Pentru a înlocui și rezolva repede ecuația, utilizați această formulă pentru orice pereche de vectori bidimensionali: cosθ = (u1 • v1 + sau2 • v2) / (√ (u1 • u2) • √ (v1 • v2)).
    • Dacă lucrați într-un program de grafică pe calculator, probabil vă veți îngrijora doar direcția vectorilor și nu lungimea lor. Urmați acești pași pentru a simplifica ecuațiile și a accelera programul:
    • Normalizați fiecare vector astfel încât lungimea să fie 1. Pentru a face acest lucru, împărțiți fiecare componentă a vectorului după lungimea sa.
    • Luați produsul scalar al vectorilor normalizați în locul vectorilor originali.
    • Deoarece lungimea este egală cu 1, lăsați termenii lungimii din ecuația dvs. Ecuația finală pentru unghiul este arce (sau→{ displaystyle { overrightarrow {u}}}• v→{ displaystyle { overrightarrow {v}}}).
  • Bazându-ne pe formula cosinus, putem afla rapid dacă unghiul este acut sau obtuz. Începeți cu cosθ = (sau→{ displaystyle { overrightarrow {u}}}• v→{ displaystyle { overrightarrow {v}}}) / (||sau→{ displaystyle { overrightarrow {u}}}|| ||v→{ displaystyle { overrightarrow {v}}}||):
  • Partea stângă și cea dreaptă a ecuației trebuie să aibă același semn (pozitiv sau negativ).
  • Întrucât lungimile sunt întotdeauna pozitive, cosθ trebuie să aibă același semn ca și produsul scalar.
  • Prin urmare, dacă produsul scalar este pozitiv, cosΘ este pozitiv. Suntem în primul cvadrant al cercului unitar, cu θ < π / 2 sau 90 °. Unghiul este ascuțit.
  • Dacă produsul scalar este negativ, cosΘ este negativ. Suntem în cel de-al doilea cvadrant al cercului unitar, cu π / 2 < θ ≤ π sau 90º < θ ≤ 180º. Unghiul este obtuz.
    • Distribuiți pe rețelele sociale:

    înrudit
    Cum se convertesc de la raster la vectorCum se convertesc de la raster la vector
    Cum de a crea o imagine vector cu Vector MagicCum de a crea o imagine vector cu Vector Magic
    Cum de a desena grafica în MATLABCum de a desena grafica în MATLAB
    Cum sa faci un robot care sa atragă cu MakeblockCum sa faci un robot care sa atragă cu Makeblock
    Cum se calculează zona paralelogramuluiCum se calculează zona paralelogramului
    Cum se calculează MomentulCum se calculează Momentul
    Cum se calculează lucrareaCum se calculează lucrarea
    Cum se calculează distanța parcursă a unui obiect folosind kinematică vectorialăCum se calculează distanța parcursă a unui obiect folosind kinematică vectorială
    Cum se calculează fracțiunea unei cantitățiCum se calculează fracțiunea unei cantități
    Cum se calculează transformarea Fourier a unei funcțiiCum se calculează transformarea Fourier a unei funcții
    » » Cum să găsim unghiul între două vectori

    © 2011—2020 ertare.com