Cum combinați termeni similari

O expresie radicală este o expresie algebrică care include o rădăcină pătrată (sau cubică sau superioară). Multe expresii pot deseori descrie același număr chiar dacă arată foarte diferit (de exemplu 1 / (√ (2) - 1) = √ (2) +1). Soluția la aceasta este de a defini a "forma canonică" preferat pentru anumite expresii. Dacă două expresii, atât în formă canonică, continuă să pară diferite, înseamnă că ele nu sunt expresii echivalente. Matematicienii au fost de acord că expresiile radicale în formă canonică trebuie:

conținut

Pași
Metoda 1puteri perfecte
Metoda 2transformați exponenții raționali în radicali
Metoda 3elimină fracțiunile de radicali
Metoda 4combinați produse radicale
Metoda 5extrageți factorii pătrari ai radicalilor
Metoda 6raționalizați numitorul
Sfaturi

Evitați fracțiunile în radicali
Nu utilizați exponenți fracționați
Evitați radicalii în numitori
Nu multiplicați radicalii cu radicalii
Având doar termeni fără radicali sub radicalii

O utilizare practică pentru aceasta este în examenele cu mai multe opțiuni. Dacă într-un examen ați rezolvat o problemă, dar răspunsul nu se potrivește cu nici una dintre opțiuni, încercați să o simplificați în forma canonică. Deoarece autorii examenelor scriu de obicei răspunsurile într-o formă canonică, dacă faceți același lucru în examenul dvs., va fi mai ușor să realizați care dintre răspunsuri este echivalentă cu a dvs. În examinarea răspunsurilor gratuite, instrucțiuni "simplifica răspunsurile" sau "simplifică toți radicalii" înseamnă că studenții trebuie să aplice acești pași până când răspunsurile îndeplinesc cerințele menționate mai sus. De asemenea, are mai multe utilizări în rezolvarea ecuațiilor, deși unele ecuații sunt mai ușor de rezolvat folosind o formă non-canonică.

pași

Dacă este necesar, revizuiți regulile pentru manipularea radicală și exponenți (Sunt exact aceleași: rădăcinile sunt puteri fracționare), deoarece cele mai multe dintre ele sunt necesare pentru acest proces. De asemenea, examinați regulile de manipulare și simplifica expresiile polinomiale și raționale deoarece vor fi, de asemenea, necesare simplificări în acest proces.

Metoda 1
Puteri perfecte

Imaginea intitulată Simplificați expresiile radicale Pasul 1

Simplificați toate expresiile radicale care sunt pătrate perfecte. Un pătrat perfect este produsul de orice număr înmulțit cu el însuși, de exemplu 81, care este produsul de 9 x 9. Pentru a simplifica un pătrat perfect, care se află sub un radical pur și simplu îndepărtează semnul de tip radical și numărul să fie rădăcina pătrată a pieței perfecte.

De exemplu, 121 este un pătrat perfect deoarece 11 x 11 este 121. Prin urmare, puteți simplifica √ (121) cu 11 prin eliminarea simbolului rădăcinii pătrate.
Pentru a face procesul mai ușor, ar fi bine să memoreze primele douăsprezece pătrate perfecte 1 x 1 = 1, 2 x 2 = 4, 3 x 3 = 9, 4 x 4 = 16, 5 x 5 = 25, 6 x 6 = 36, 7 x 7 = 49, 8 x 8 = 64, 9 x 9 = 81, 10 x 10 = 100, 11 x 11 = 121, 12 x 12 = 144

Imaginea intitulată Simplificați expresiile radicale Pasul 2

Simplificați toate expresiile radicale care sunt un cub perfect. Un cub perfect este produsul orice număr înmulțit cu el însuși de două ori, de exemplu, 27 este produsul de 3 x 3 x 3. Pentru a simplifica o expresie radical atunci când un cub perfect sub semnul radical cubic, pur și simplu elimină semn radical și scrie numărul care se află sub rădăcina cub de cub perfect.

De exemplu, 343 este un cub perfect pentru că este produsul de 7 x 7 x 7. În consecință, rădăcina cubului a cubului perfect de 343 este pur și simplu 7.

Metoda 2
Transformați exponenții raționali în radicali

Puteți face, de asemenea, conversia inversă, dacă preferați acest lucru (de multe ori există motive întemeiate de a face acest lucru), dar nu se amestecă termeni în aceeași expresie, ca și în acest caz: √ (5) + 5. Acest articol presupune că utilizați notația radicală și vor utiliza simbolul (√n) reprezintă rădăcina pătrată a n (√n) la rădăcina cub de n.

Găsiți toți exponenții fracționali și convertiți-i la echivalentul lor radical, adică x = rădăcina a x a x.

Dacă aveți o fracțiune ca indice al unui radical, scapă de el. De exemplu, rădăcina (2/3) a 4 = √ (4) = 2 = 8.

Convertește exponenții negativi la fracțiunea lor echivalentă, adică x = 1 / x.

Aceasta se aplică numai exponenților constanți și raționali. Dacă aveți termeni ca 2, lăsați-i așa cum sunt, chiar dacă contextul problemei implică faptul că x ar putea fi un număr fracțional sau negativ.

Combinați toți termenii similari și simplifică expresiile raționale care apar ca urmare a acestei combinații.

Metoda 3
Elimină fracțiunile de radicali

Forma canonică cere ca rădăcina unei fracțiuni să fie exprimată prin rădăcini de numere întregi.

Examinați termenii de mai jos pentru fiecare radical pentru a vedea dacă acestea conțin fracțiuni. Dacă da, continuați cu pasul următor.

Înlocuiți-le cu o fracțiune de doi radicali folosind identitatea √ (a / b) = √ (a) / √ (b).

Nu utilizați această identitate dacă numitorul este negativ sau dacă este o expresie variabilă care ar putea avea valori negative. În acest caz, simplificați mai întâi fracțiunea.

Simplificați patratele perfecte pe care le obțineți ca rezultat. Asta este, converti √ (5/4) la √ (5) / √ (4),

Faceți orice altă simplificare utilă, cum ar fi simplifica fracțiunile complexe, combinați termeni similari etc.

Metoda 4
Combinați produse radicale

Dacă aveți o expresie radicală înmulțită de alta, combinați-le într-un singur radical folosind proprietatea: √ (a) * √ (b) = √ (ab). De exemplu, înlocuiți √ (2) * √ (6) cu √ (12).

Identitatea anterioară, √ (a) * √ (b) = √ (ab) este valabilă pentru radicandii non-negativi. Nu aplicați dacă a și b sunt negative, deoarece ați fi gresit să vă asigurați că √ (-1) * √ (-1) = √ (1). Partea stângă este -1 prin definiție (sau nedefinită dacă refuzați să utilizați numere complexe), în timp ce partea dreaptă este +1. Dacă a sau b sunt negative, mai întâi "remedieri" semnul său schimbând √ (-5) cu i * √ (5). Dacă radicandul este o expresie variabilă a cărei semn nu poate fi dedusă din context și ar putea fi atât pozitivă, cât și negativă, atunci, pentru moment, pur și simplu lăsați-o așa cum este. Ai putea folosi o identitate mai generală √ (a) * √ (b) = √ (SGN (a)) * √ (SGN (b)) * √ (| ab |), care este valabilă pentru toate numerele a și b reale, dar de obicei, nu merită să se adauge mai multă complexitate la introducerea funcției semn (sgn).
Această identitate se aplică numai dacă radicalii au același index. Puteți multiplica radicali mai generali precum √ (5) * √ (7), exprimându-i mai întâi printr-un indice comun. Pentru a face acest lucru, convertește temporar rădăcini la exponenții fractionale: √ (5) * √ (7) = 5 * 7 = 5 * 7 = 125 * 49. Apoi, se aplică regula meci de produs acest produs la a șasea rădăcina 6125.

Metoda 5
Extrageți factorii pătrari ai radicalilor

Imaginea intitulată Simplificați expresiile radicale Pasul 3

factorizata o expresie imperfectă radicală în principalii ei factori. Factorii sunt numere care sunt multiplicate pentru a crea un număr: de exemplu, 5 și 4 sunt doi factori de numărul 20. Pentru a exploda o expresie radicală imperfectă, scrie toți factorii care au numărul (sau tot ce se poate gândi, dacă este un număr mare) până când veți găsi unul care este perfect pătrat.

De exemplu, încercați să enumerați toți factorii de la numărul 45: 1, 3, 5, 9, 15 și 45. 9 este un factor de 45 care este, de asemenea, un pătrat perfect (9 = 3). 9 x 5 = 45.

Imaginea intitulată Simplificați expresiile radicale Pasul 4

Mutați multiplii care sunt o pătrată perfectă din semnul radicalului. 9 este un pătrat perfect pentru că este produsul de 3 x 3. Mișcați cele 9 din semnul radicalului și plasați-l în fața acestuia, lăsându-l pe 5 sub semnul radicalului. dacă "frize" cei trei din nou sub semnul radical, se înmulțește cu ea însăși, realizând din nou o 9, care din nou înmulțit cu 5 pentru a crea din nou de 3 ori 45. rădăcină 5 este doar o versiune simplificată a spus rădăcină 45.

De aceea: √ (45) = √ (9 * 5) = √ (9) * √ (5) = 3 * √ (5).

Imaginea intitulată Simplificați expresiile radicale Pasul 5

Găsiți un pătrat perfect în variabila. Rădăcina pătrată din la la a doua putere ar fi | a |. Puteți urmări simplificând acest lucru și plecând pur și simplu la, numai dacă știți că variabila este pozitivă. Rădăcina pătrată din la la a treia putere poate fi împărțită în rădăcina pătrată din la în pătrat la (Acest lucru se datorează faptului că atunci când multiplicarea variabilelor sumă exponenții astfel încât la de la pătrat egal la la galeata).

Prin urmare, pătratul perfect în expresie la cubul este la El la pătrat.

Imaginea intitulată Simplificați expresiile radicale Pasul 6

Mutați toate variabilele care sunt patrate perfecte din semnul radicalului. Acum ia-o la pătrat și mutat-o din semnul radicalului pentru al transforma într-un | a | Regular. Forma simplificată la cubul este simplu | a | rădăcină de la.

Combină toți termenii similari și simplifică expresiile radicale obținute ca urmare a acestei proceduri.

Metoda 6
Raționalizați numitorul

Forma canonică cere ca numitor fie un întreg (sau un polinom dacă conține variabile nedeterminate) dacă este posibil.

Dacă numitorul este un singur termen sub semnul radical, de exemplu [unii] / √ (5), apoi se multiplică numărătorul și numitorul acestui radical pentru a obține [ceva] * √ (5) / √ (5) * √ (5) = [ceva] * √ (5) / 5.

Pentru cel mai înalt cub și rădăcini, înmulțiți-le cu puterea corespunzătoare radicalului pentru a face numitorul un număr rațional. Dacă numitorul a fost √ (5), atunci se înmulțește numitorul și numitorul cu √ (5).

Dacă numitorul este adunarea sau scăderea de rădăcini pătrate, cum ar fi √ (2) + √ (6), apoi se multiplică numărătorul și numitorul prin conjugatul său: aceeași expresie, dar cu operatorul opus. Prin urmare: [unii] / (√ (2) + √ (6)) = [unii] (√ (2) -√ (6)) / (√ (2) + √ (6)) (√ (2 ) -√ (6)). Apoi folosește identitatea diferenței pătratelor [(a + b) (b) = ab] pentru raționalizarea numitor, simplificarea (√ (2) + √ (6)) (√ (2) -√ (6)) = √ (2) - √ (6) = 2-6 = -4.

Acest lucru funcționează, de asemenea, pentru numitorii ca 5 + √ (3) deoarece fiecare număr întreg este o rădăcină pătrată a altui număr întreg. [5 / √ (3)] = (5-√ (3)) / (5 + √ (3)) = (5-√ (3)) / (25-3) = (5-√ (3)

De asemenea, funcționează pentru o sumă de rădăcini pătrate, cum ar fi √ (5) -√ (6) + √ (7). Dacă grupați-le ca √ (5) -√ (6)) + √ (7) și înmulțiți-le cu (√ (5) -√ (6)) - √ (7) forma a + b * √ (30), unde la și b Sunt raționale. Apoi puteți repeta procesul cu conjugatul a + b * √ (30) și (a + b * √ (30)) (a-b * √ (30)) este rațional. În esență, dacă puteți folosi acest truc o dată pentru a reduce cantitatea de semne radicale din numitor, atunci puteți folosi acest truc de mai multe ori pentru a le elimina pe toate.

Această metodă funcționează chiar și pentru numitorii care conțin rădăcini de grad mai înalt, de exemplu rădăcina a patra a lui 3 plus a șaptea rădăcină a lui 9. Pur și simplu se înmulțește în numărător și numitor cu conjugatul numitor. Din păcate, nu este clar imediat ce conjugat al numitorului este sau cum să aflăm. Acest lucru este dincolo de domeniul de aplicare al acestui articol, dar puteți găsi o metodă într-o carte bună de teoria numerică algebrică.

Acum numitorul va fi raționalizat, dar numărul de numerar va fi un dezastru. Acum veți avea înmulțit numărul dvs. inițial de conjugat. atunci extindeți produsul așa cum ați face cu un produs de polinoame. Verificați dacă puteți anula sau simplifica termenii sau puteți combina termeni asemănători atunci când este posibil.

Dacă numitorul este un număr întreg negativ, atunci înmulțiți numitorul și numitorul cu -1 pentru a-l face pozitiv.

sfaturi

Există site-uri web care pot simplifica automat expresia radicală. Doar scrieți ecuația sub semnul radical și după apăsarea Enter, va apărea răspunsul simplificat.
Pentru probleme simple, nu este posibil să aplicați mulți dintre acești pași. Pentru probleme complicate, unele dintre ele trebuie aplicate de mai multe ori. Faceți simplificări "simplu" continuu în timp ce soluționați problema și verificați răspunsul final împotriva formei canonice a sloganului inițial. Dacă răspunsul dvs. este canonic, înseamnă că ați terminat. Dacă nu este canonic, puteți urma oricare dintre acești pași pentru a vedea ce trebuie să faceți pentru ao face canonică.
Majoritatea referințelor la "forma canonică preferată" pentru expresii radicale, ele se aplică și numerelor complexe (i = √ (-1)). Este întotdeauna mai bine să evitați să scrieți a "eu" în numitor, chiar dacă este scrisă ca "eu" și nu cu semnul radical.
Unele părți ale acestor instrucțiuni utilizează incorect termenul "forma canonică" când în realitate descriu doar "în mod normal". Diferența este că forma canonică ar necesita utilizarea lui 1 + √ (2) sau √ (2) +1 cealaltă ar trebui să fie etichetată ca incorectă. Prin a spune forma normală se presupune că cititorul este suficient de luminos pentru a recunoaște că ambele sunt "evident echivalent" deoarece, deși numerele nu sunt identice tipografice (atunci când spun "evident" înseamnă aplicarea numai a proprietăților aritmetice, [de exemplu, proprietatea comutativă a sumei] și nu a proprietăților algebrice [√ (2) este o rădăcină non-negativă a x-2]). Cititorul va ști cum să scuză acest mic abuz de terminologie.
În anumite părți ale acestor instrucțiuni se presupune că toți radicalii sunt rădăcini pătrate. Principiile generale se aplică și cuburilor și puterilor de nivel superior, deși unele dintre ele (în special raționalizarea numitorului) pot fi mai dificil de aplicat. De asemenea, va trebui să decideți dacă preferați să utilizați termeni precum √ (4) sau √ (2) (acest lucru poate varia în funcție de autorul manualului).
Dacă aceste instrucțiuni par ambigue sau contradictorii, aplicați toți pașii consecvenți și lipsiți de ambiguitate și apoi selectați forma care seamănă cel mai mult cu expresiile radicale ale manualului pe care îl utilizați.

Distribuiți pe rețelele sociale:

înrudit