Cum se evaluează o ecuație patratică

Atunci când este scrisă, ecuațiile patrate ale formei ax + bx + c

conținut

Pași
Sfaturi

sau a (x - h) + k, formează o curbă în formă de U sau o curbă inversă U parabole. Graficarea unei ecuații patratice este o chestiune de găsire a vârfului, a direcției sale și, de obicei, a intercepturilor pe axele sale (x, y). Dacă este o ecuație quadratică relativ simplă, poate fi suficient să creați un tabel cu valori de x pentru a compila curba cu punctele rezultate. Consultați pasul 1 de mai jos pentru a începe.

pași

Imaginea intitulată Graph a equation quadratic Pasul 1

Identificați tipul de funcție quadratică cu care veți lucra. Ecuația patratică poate fi scrisă în 3 moduri: forma dezvoltată, forma canonică și forma luată în considerare. Puteți utiliza oricare din cele 3 moduri pentru a arăta ecuația cuadratoare - dar procesul de compilare a fiecăruia variază ușor. Dacă intenționați să faceți o școală, veți primi de obicei problema într-una din următoarele două moduri, cu alte cuvinte, nu veți putea alege, deci este mai bine să înțelegeți ambele metode. Cele două forme ale ecuației patratice sunt:

Formă dezvoltată. În această formă, ecuația patratică este scrisă ca f (x) = ax + bx + c- unde a, b și c sunt numere reale și a este diferită de 0.

De exemplu, două forme dezvoltate ale ecuației patratice sunt: f (x) = x + 2x + 1 și f (x) = 9x + 10x -8.

Forma canonică. În această formă, ecuația patratică este scrisă ca: f (x) = a (x - h) + k- unde a, hyk sunt numere reale și este diferită de 0. Forma canonică este, de asemenea, hic ei vă dau direct vârful (punctul central) al parabolei în punctul (h, k).

Două ecuații canonice sunt f (x) = 9 (x - 4) + 18 și -3 (x - 5) + 1.

Pentru a arăta oricare dintre aceste tipuri de ecuații, mai întâi găsiți vârful parabolei, care este punctul central (h, k) la sfârșitul curbei. Coordonatele vârfului în forma dezvoltată sunt date de: h = -b / 2a și k = f (h), în timp ce în formă canonică h și k sunt specificate în ecuație.

Imaginea intitulată Graful o ecuație patratică Pasul 2

Definiți variabilele. Pentru a rezolva ecuația patratică, variabilele a, b și c (sau a, h și k) trebuie în general definite. În mod obișnuit, în problemele matematicii, valorile variabilelor sunt date, de obicei într-o formă dezvoltată, dar uneori și în forma canonică.

De exemplu, pentru ecuația dezvoltată f (x) = 2x + 16x + 39, avem a = 2, b = 16 și c = 39.

Pentru forma canonică f (x) = 4 (x - 5) + 12, avem a = 4, h = 5 și k = 12.

Imaginea intitulată Graph a equation quadratic Pasul 3

Calculați h. În ecuațiile canonice, valoarea pentru h este deja dată, dar în ecuațiile formei dezvoltate trebuie să fie calculată. Amintiți-vă, pentru ecuațiile de formă dezvoltată, h = -b / 2a.

În exemplul nostru de ecuații formate, avem (f (x) = 2x + 16x + 39), h = -b / 2a = -16/2 (2). Rezolvând, constatăm că h = -4.

În exemplul nostru de formă canonic (f (x) = 4 (x - 5) + 12), știm că h = 5, fără a fi nevoie să facem nici o operație matematică.

Imaginea intitulată Graful o ecuație patratică Pasul 4

Calculați k. La fel ca și cu h, k este o valoare dată în ecuațiile canonice. Pentru ecuațiile în formă dezvoltată, amintiți-vă că k = f (h). Cu alte cuvinte, puteți găsi k înlocuind fiecare valoare a lui x în ecuație cu valoarea pe care ați găsit-o de la h.

În exemplul nostru, valoarea h = -4. Pentru a găsi k, rezolvăm ecuația înlocuind x cu valoarea h:

k = 2 (-4) + 16 (-4) + 39.

k = 2 (16) - 64 + 39.

k = 32 - 64 + 39 = 7.

În exemplul nostru în formă canonică, știm deja valoarea lui k (care este de 12) fără a fi nevoie să facem nici o operație matematică.

Imaginea intitulată Graful o ecuație patratică Pasul 5

Desenați vârful. Vârful parabolei va fi punctul (h, k) - h specifică coordonatele lui x, în timp ce k specifică coordonatele lui y. Vârful este punctul central al parabolei, fie partea inferioară a parabolei "U" sau la capătul îndepărtat al unui a "U" inversat. Cunoașterea valorii vertexului este de o importanță vitală pentru a arăta o parabolă cu precizie, în general, în sarcinile școlare, întrebarea este solicitată să precizeze vertexul.

În exemplul nostru în formă dezvoltată, punctul nostru este (-4, 7). Prin urmare, parabola are punctul său maxim de patru spații la stânga 0 și 7 spații deasupra punctului (0, 0). Acest punct ar trebui să fie reprezentat pe grafic, asigurându-vă că marcați coordonatele.

În exemplul nostru canonic, vârful este situat în punctul (5, 12). Trebuie să desenați un punct 5 de spații în dreapta și 12 de spații deasupra punctului (0, 0).

Imaginea intitulată Graph a equation quadratic Step 6

Desenați axa simetrică a parabolei (opțional). Axa de simetrie a unei parabole este linia care o traversează în jumătate și care împarte parabola în două părți egale. Prin această axă, partea stângă a parabolei va fi o reflectare a părții stângi a acesteia. Pentru ecuațiile formelor ax + bx + c sau a (x - h) + k, axa este o linie paralelă cu axa y (cu alte cuvinte, perfect verticală) care traversează vârful.

În exemplul nostru, cu cazul în formă dezvoltată, axa este o linie paralelă cu axa x care traversează punctul (-4, 7). Deși nu face parte din parabola însăși, marcarea slabă a acestei linii pe graficul dvs. vă poate ajuta să vedeți cum parabola curbează simetric.

Imaginea intitulată Grafică o ecuație patratică Pasul 7

Găsiți adresa de deschidere. După ce găsim vârful și axa simetrică a parabolei, trebuie să știm dacă parabola se deschide în sus sau în jos. Din fericire, este o procedură simplă. dacă "la" este pozitiv, parabola se va deschide, dar dacă "la" este negativ, parabola se va deschide în jos (adică va avea o formă U inversată).

În exemplul nostru de ecuații dezvoltate (f (x) = 2x + 16x + 39) știm că parabola se deschide deoarece în ecuația a = 2 (pozitivă).

În exemplul nostru de ecuații canonice (f (x) = 4 (x - 5) + 12), știm că parabola se deschide din nou deoarece a = 4 (pozitiv).

Imaginea intitulată Graph a equation quadratic Step 8

Dacă este necesar, găsiți și urmăriți interceptările lui x. De obicei, în sarcini, vi se cere să găsiți interceptarea lui x (care sunt unul sau altul două puncte în care parabola taie axa x). Chiar dacă nu le veți găsi, aceste două puncte pot fi de neprețuit atunci când este vorba de a trasa o parabola precisă. Cu toate acestea, nu toate parabolele au intercepte în x. Dacă parabola are un vârf care se deschide deasupra axei x sau dacă se deschide și are vârful sub axa x, nu veți avea interceptare în x. În caz contrar, rezolvați interceptarea lui x cu una dintre următoarele metode:

Pur și simplu rezolva f (x) = 0 și rezolva ecuația. Această metodă ar putea funcționa pentru ecuații quadrice simple (mai ales în formă canonică), dar este extrem de dificil de aplicat în ecuații mai complexe. Vedeți un exemplu de mai jos:

f (x) = 4 (x - 12) - 4

0 = 4 (x - 12) - 4

4 = 4 (x - 12)

1 = (x - 12)

Radacina patra (1) = (x - 12)

+/ - 1 = x -12. x = 11 și 13 ele sunt interceptele în x al parabolei.

Factorul ecuației. Unele ecuații cu forma ax + bx + c pot fi luate cu ușurință din forma (dx + e) (fx + g), unde dx × fx = ax, (dx × g + fx × e) = bx, e × g = c. În acest caz, interceptările în x sunt valorile lui x pentru care valorile din paranteze sunt egale cu 0. De exemplu:

x + 2x + 1

= (x + 1) (x + 1)

În acest caz, singura interceptare în x este -1 deoarece înlocuirea x cu -1 face ca fiecare dintre termenii luați în paranteze să fie egal cu 0.

Utilizați formula patratică. Dacă nu puteți rezolva cu ușurință interacțiunile lui x sau dacă nu puteți factoriza ecuația, utilizați o ecuație specială numită formula patratică concepută în acest scop. Dacă nu este în formă dezvoltată, rezolvați ecuația astfel încât să aibă forma ax + bx + c, apoi înlocuiți a, b și c în formula x = (-b +/- rădăcină pătrată (b - 4ac)) / 2a. Rețineți că, de obicei, acest lucru vă oferă două răspunsuri pentru x, ceea ce este bine, ceea ce înseamnă doar că parabola are două intercepții în x. Consultați următorul exemplu:

-5x + 1x + 10 se înlocuiește în formula patratică după cum urmează:

x = (-1 +/- (1-4 (-5) (10)) / 2 (-5)

x = (-1 +/- rădăcină pătrată (1 + 200)) / - 10

x = (-1 +/- rădăcină pătrată (201)) / - 10

x = (-1 +/- 14,18) / - 10

x = (13,18 / -10) și (-15,18 / -10). Interceptul în x al parabolei este aproximativ x = -1318 și 1518

Exemplul anterior, 2x + 16x + 39, este înlocuit în formula patratică după cum urmează:

x = (-16 +/- rădăcină pătrată (16 - 4 (2) (39)) / 2 (2)

x = (-16 +/- rădăcină pătrată (256-312)) / 4

x = (-16 +/- rădăcină pătrată (-56) / - 10

Pentru că este imposibil să găsim rădăcina pătrată a unui număr negativ, știm acest lucru nu există intercepții în x pentru această parabolă în particular.

Imaginea intitulată Graph a equation quadratic Pasul 9

Dacă este necesar, găsiți și urmăriți interceptările y. Deși nu este de obicei necesar să găsiți interceptarea y în ecuație (punctul în care parabola taie axa y), vi se poate cere să faceți acest lucru, în special în activitatea școlii. Procesul este simplu, pur și simplu egal cu x = 0, apoi rezolvați ecuația pentru f (x) sau y, ceea ce vă oferă valoarea y în care parabola atinge axa y. Spre deosebire de interceptarea în x, parabolele dezvoltate pot avea doar o interceptare în y. Notă: pentru ecuațiile formei dezvoltate, interceptul y este în punctul y = c.

De exemplu, știm că ecuația noastră patratică 2x + 16x + 39 are o interceptare în y = 39, dar poate fi găsită și în felul următor:

f (x) = 2x + 16x + 39

f (x) = 2 (0) + 16 (0) + 39

f (x) = 39. Interceptul în și al parabolei este în punctul respectiv y = 39. După cum sa menționat mai sus, interceptul în y este egal cu y = c.

Ecuația noastră de formă canonică 4 (x - 5) + 12, are o interceptare și poate fi găsită în felul următor:

f (x) = 4 (x - 5) + 12

f (x) = 4 (0-5) + 12

f (x) = 4 (-5) + 12

f (x) = 4 (25) + 12

f (x) = 112. Interceptul în și al parabolei este în punctul respectiv y = 112.

Imaginea intitulată Graful o ecuație patratică Pasul 10

Dacă este necesar, trageți puncte suplimentare, apoi graf. Acum ar trebui să aveți vârful, direcția, interceptul (ele) în x și eventual o interceptare în y a ecuației patrate. În acest moment, puteți încerca să desenați parabola folosind punctele pe care le aveți ca ghid sau puteți găsi mai multe puncte pentru "umple" parabola și trage o curbă mai precisă. Cel mai simplu mod de a face acest lucru este să înlocuiți pur și simplu unele valori în x pe fiecare parte a vârfului, apoi să trasați aceste puncte folosind valorile pe care le obțineți de la y. În general, profesorii vă cer să găsiți un anumit număr de puncte înainte de a desena parabola.

Să revedem ecuația x + 2x + 1. Știm deja că singura interceptare este la x = -1. Deoarece interceptarea lui x atinge doar un punct, putem deduce că vârful este interceptul său în x, ceea ce înseamnă că vârful este în punctul (-1, 0). Într-adevăr, avem doar un punct pentru această parabolă, nu avem suficiente date pentru a face un grafic bun. Să găsim mai multe puncte pentru a putea desena un grafic exact.

Să găsim valorile lui y pentru următoarele valori de x: 0, 1, -2 și -3.

Pentru 0: f (x) = (0) + 2 (0) + 1 = 1. Punctul nostru este (0,1).

Pentru 1: f (x) = (1) + 2 (1) + 1 = 4. Punctul nostru este (1.4).

Pentru -2: f (x) = (-2) + 2 (-2) + 1 = 1. Punctul nostru este (-2.1).

Pentru -3: f (x) = (-3) + 2 (-3) + 1 = 4. Punctul nostru este (-3.4).

Se trasează aceste puncte de pe grafic și trasează curba în formă de U Nota că parabola este perfect simetrică, dacă aveți o parte întreagă din numerele parabolei, puteți economisi ceva timp pentru a reflecta punctele de peste axa simetrică, cu aceasta găsiți punctul corespunzător de pe cealaltă parte a parabolei.

sfaturi

Rotiți numerele sau utilizați fracțiuni dacă profesorul dvs. vă spune să faceți acest lucru. Acest lucru vă va ajuta să corectați corect ecuațiile patrate.
Rețineți că în f (x) = ax + bx + c- dacă b sau c sunt egale cu 0, acele numere dispar. De exemplu, 12x + 0x + 6 devine 12x + 6 deoarece 0x este egal cu 0.

Distribuiți pe rețelele sociale:

înrudit