Cum să faci trinomiali

Un trinomial este o expresie algebrică compusă din trei termeni. Cel mai probabil, veți învăța mai întâi să trinomiali factori "pătratic"- adică, trinomialurile scrise ale formei ax + bx + c. Există mai multe trucuri pe care le puteți învăța care se aplică diferitelor tipuri de trinomii patrate, pe care le veți învăța să le utilizați mai bine și mai repede cu puțină practică. Polinomii de ordin superior, cu termeni precum x sau x, nu pot fi întotdeauna rezolvați folosind aceleași metode, dar de obicei puteți utiliza un simplu factoring sau metoda de substituire pentru a le transforma în probleme care pot fi rezolvate ca orice formula quadratică.

conținut

Pași
Metoda 1factorii trinomiali ai formulei x + bx + c
Metoda 2factori trinomiali mai complicați
Metoda 3factori speciali
Probleme și soluții
Sfaturi
Avertismente

pași

Metoda 1
Factorii trinomiali ai formulei x + bx + c

Factor-Trinomials-Pas-1-versiunea-2.jpg" class ="imagine lightbox">

Imaginea intitulată Trinomials Factor Pasul 1

Aflați metoda de înmulțire FOIL. Poate știți deja metoda FOIL, ceea ce înseamnă "primul, exterior, interior și ultimul", și este folosit pentru a multiplica expresii ca (x + 2) (x + 4). Este foarte util să știți cum funcționează această metodă înainte de factoring. Acest lucru se face după cum urmează:

Înmulțiți în primul rând termeni: (x+2) (x+4) = x + __
Înmulțiți termenii extern: (x+2) (x +4) = x +4x + __
Înmulțiți termenii interior: (x +2) (x+4) = x + 4x +2x + __
Înmulțiți cele mai recente termeni: (x +2) (x +4) = x + 4x + 2x +8
Simplificați: x +4x + 2x+8 = x +6x+8

Factor-Trinomials-Pas-2-versiunea-2.jpg" class ="imagine lightbox">

Imaginea intitulată Trinomials Factor Pasul 2

Înțelegeți procesul de factorizare. Când multiplicați două binomiali folosind metoda FOIL, rezultatul este o trinomă (o expresie cu trei termeni) a formularului ax +bx +c, unde a, b și c sunt numere normale. Dacă vi se dă o ecuație cu aceeași formă, o puteți face în două binomii.

Dacă ecuația nu este scrisă în acest fel, reorganizați termenii. De exemplu, rescrieți3x - 10 + x ca x + 3x - 10.

Deoarece cel mai mare exponent este 2 (x), acest tip de expresie este numit "pătratic".

Factor-Trinomials-Pas-3-versiunea-2.jpg" class ="imagine lightbox">

Imaginea intitulată Trinomials Factor Pasul 3

Lăsați un spațiu pentru răspuns. Pentru moment, trebuie doar să scrii (__ __) (__ __), în spațiul în care intenționați să vă scrieți răspunsul. Veți umple câmpurile în timp ce progresați.

Nu scrieți + sau - în mijlocul termenilor goale, deoarece nu cunoaștem semnul.

Factor-Trinomials-Pas-4-Version-2.jpg" class ="imagine lightbox">

Imaginea intitulată Trinomials Factor Pasul 4

Completați primii termeni. Pentru probleme simple, unde primul termen al trinomialului este x, termenii din primele linii vor fi întotdeauna x și x. Acestea sunt factorii termenului x, deoarece x prin x = x.

Exemplul nostru x + 3x - 10 începe cu x, astfel încât să putem scrie următoarele:

(x __) (x __)

Vom aborda probleme mai complicate în secțiunea următoare, inclusiv trinomiale care încep cu un termen cum ar fi 6x sau -x. Pentru moment, urmați exemplul.

Factor-Trinomials-Pas-5-Version-2.jpg" class ="imagine lightbox">

Imaginea intitulată Trinomials Factor Pasul 5

Utilizați factoring pentru a găsi ultimii termeni. Dacă vă întoarceți și examinați metoda FOIL, veți observa că prin înmulțirea ultimilor termeni veți obține termenul final al polinomului (cel care nu are x). Prin urmare, pentru factor, va trebui să găsiți două numere înmulțit în ultimul termen.

În exemplul nostru, x + 3x - 10, ultimul termen este -10.

Ce sunt factori -10? Ce numere multiplicate dau -10?

Există mai multe posibilități: -1 x 10, 1 x -10, -2 x 5 și în cele din urmă 2 x -5. Scrieți aceste seturi de numere astfel încât să nu le uitați.

Nu scrie încă răspunsul. Ar trebui să arate în continuare: (x __) (x __).

Factor-Trinomials-Pas-6-versiunea-2.jpg" class ="imagine lightbox">

Imaginea cu titlul Trinomial Factor Pasul 6

Definiți răspunsul corect prin înmulțirea numărului interior cu exteriorul. Am redus căutarea ultimilor termeni la doar câteva posibilități. Utilizați încercarea și eroarea pentru a testa fiecare posibilitate, înmulțind termenul exterior cu interiorul și comparând rezultatul cu trinomul. De exemplu:

Problema inițială are un termen "x" 3x, deci trebuie să obținem acest termen cu multiplicare.

Să încercăm cu -1 și 10: (x-1) (x + 10). Exteriorul + interiorul = 10x - x = 9x. Nu este răspunsul.

Să încercăm cu 1 și -10: (x + 1) (x-10). -10x + x = -9x. Nici răspunsul nu este. De fapt, deoarece am testat cu -1 și 10, știm că dacă vom folosi 1 și -10, vom obține același răspuns cu semnul opus: -9x în loc de 9x.

Să încercăm cu -2 și 5: (x-2) (x + 5). 5x - 2x = 3x. Acest răspuns se potrivește cu polinomul original, deci este răspunsul corect: (x-2) (x + 5).

În cazuri simple precum cea anterioară, când nu există o constantă alături de termenul x, puteți utiliza o comandă rapidă: pur și simplu adăugați cei doi factori și adăugați o "x" (-2 + 5 → 3x). Dar acest truc nu funcționează pentru probleme mai complicate, deci este bine să vă amintiți "lung formă" descrise mai sus.

Metoda 2
Factori trinomiali mai complicați

Factor-Trinomials-Pas-7-versiunea-2.jpg" class ="imagine lightbox">

Imaginea cu titlul Trinomials Factor Pasul 7

Utilizați factoring simplu pentru a facilita problemele cele mai complicate. Să presupunem că vom lua o decizie 3x + 9x - 30. Găsiți factorul celor trei termeni ( "factor maxim comun" sau MFC). În acest caz, este de 3:

3x = (3) (x)
9x = (3) (3x)
-30 = (3) (- 10)
Prin urmare, 3x + 9x - 30 = (3) (x + 3x - 10). Putem factoriza noul trinomial folosind pașii descriși în secțiunea anterioară. Răspunsul final va fi (3) (x-2) (x + 5).

Factor-Trinomials-Pas-8-Version-2.jpg" class ="imagine lightbox">

Imaginea intitulată Trinomials Factor Step 8

Găsiți factori mai complicați. Uneori, factorul poate fi însoțit de o variabilă sau poate fi necesar să faci factori de mai multe ori pentru a găsi cea mai simplă expresie posibilă. Iată câteva exemple:

2xy + 14xy + 24y = (2y)(x + 7x + 12)

x + 11x - 26x = (X)(x + 11x - 26)

-x + 6x - 9 = (-1)(x - 6x + 9)

Nu uitați să factorizați fiecare trinomial nou pe care îl obțineți, utilizând pașii descriși în metoda 1. Verificați rezultatele și căutați exemple similare în secțiunea de probleme din partea de jos a acestei pagini.

Factor-Trinomials-Pas-9-Version-2.jpg" class ="imagine lightbox">

Imaginea cu titlul Trinomials Factor Pasul 9

Rezolvați trinomialele care au un număr care se potrivește cu termenul x. Unele trinomiuri quadrate nu pot fi simplificate pentru a le rezolva într-un mod simplu. Învață să rezolvi probleme asemănătoare celor 3x + 10x + 8 și apoi să te antrenezi singur cu problemele din partea de jos a paginii:

Să lăsăm spațiu pentru răspuns: (__ __) (__ __)

"în primul rând" termenii trebuie să aibă un x și trebuie să îi înmulțim pentru a obține 3x. Există o singură soluție: (3x __) (x __).

Scrieți factorii de 8. Opțiunile noastre sunt 1 x 8 sau 2 x 4.

Încercați să multiplicați termenul exterior cu termenul interior. Luați în considerare ordinea factorilor, deoarece trebuie să multiplicați termenul extern cu 3x în loc de x. Încercați toate opțiunile până când obțineți rezultatul 10x (termenul original de problemă):

(3x + 1) (x + 8) + 24x + x = 25x nu

(3x + 8) (x + 1) → 3x + 8x = 11x nu

(3x + 2) (x + 4) → 12x + 2x = 14x nu

(3x + 4) (x + 2) → 6x + 4x = 10x da. Acesta este factorul corect.

Factor-Trinomials-Pas-10-versiune-2.jpg" class ="imagine lightbox">

Imaginea cu titlul Trinomials Factor Pasul 10

Utilizați metoda de substituire pentru trinomialele de cea mai bună calitate. Acestea vă pot da o ecuație cu un exponent mai mare de două (cum ar fi x) chiar și după factoring pentru a simplifica problema. Înlocuiți-o cu o variabilă care convertește problema într-una care știi cum să rezolvi. De exemplu:

x + 13x + 36x

= (x) (x + 13x + 36)

Să creăm o nouă variabilă. Fie y = x și înlocuiți:

(x) (y + 13y + 36)

= (x) (y + 9) (y + 4). Acum, să înlocuim cu variabila originală:

= (x) (x + 9) (x + 4)

=(x) (x ± 3) (x ± 2)

Metoda 3
Factori speciali

Factor-Trinomials-Pas-11-versiunea-2.jpg" class ="imagine lightbox">

Imaginea cu titlul Trinomials Factor Pasul 11

Căutați numere prime. Verificați dacă constanta în primul sau al treilea termen al trinomial este un număr prime. Un număr prime poate fi împărțit pentru a obține un număr exact numai prin el însuși și unul, deci există doar o singură pereche de factori care pot intra în binom.

De exemplu, în x + 6x + 5, 5 este un număr prime, deci binomul trebuie să aibă forma (__ 5) (__ 1).
În problema 3x + 10x + 8, 3 este un număr prime, deci binomul trebuie să aibă forma (3x __) (x __).
Pentru problema 3x + 4x + 1, 3 și 1 sunt numere prime, deci singura soluție posibilă este (3x + 1) (x + 1). (În orice caz, trebuie să rezolvați multiplicarea pentru a verifica, deoarece unele expresii nu pot fi luate în considerare, de exemplu, ecuația 3x + 100x + 1, nu are factori).

Factor-Trinomials-Pas-12-versiunea-2.jpg" class ="imagine lightbox">

Imaginea intitulată Trinomials Factor Step 12

Verificați dacă trinomul este un pătrat perfect. Un trinomial patrat perfect poate fi luat în considerare în două binomiale identice, iar factorul rezultat este de obicei scris ca (x + 1) în loc de (x + 1) (x + 1). Iată câteva exemple care sunt adesea văzute în problemele de algebră:

x + 2x + 1 = (x + 1) și x-2x + 1 = (x-1)

x + 4x + 4 = (x + 2) și x-4x + 4 = (x-2)

x + 6x + 9 = (x + 3) și x-6x + 9 = (x-3)

O formă trinomică perfectă ax + bx + c are întotdeauna termeni de a și c care sunt pătrate perfect pozitive (cum ar fi 1, 4, 9, 15 sau 25) și termenul b (pozitiv sau negativ) este egal cu 2 (√a * √c).

Factor-Trinomials-Pas-13-versiunea-2.jpg" class ="imagine lightbox">

Imaginea cu titlul Trinomial Factor Pasul 13

Verificați dacă problema are o soluție. Nu toate trinomialurile pot fi luate în considerare. Dacă nu puteți rezolva un trinomial quadratic (ax + bx + c), utilizați formula brută pentru a găsi răspunsul. Dacă singurele soluții sunt rădăcina pătrată a unui număr negativ (adică nu există o soluție reală), atunci trinomul nu poate fi luat în considerare.

Pentru trinomii non-patrate, utilizați criteriul Eisenstein, descris în secțiunea Sfaturi.

Probleme și soluții

Răspunsuri la problemele de factoring "complicat". Acestea sunt problemele pas cu pas "factori mai complicați". Acestea au fost deja simplificate până la trinomiale simple, așa că încercați să le rezolvați utilizând pașii descriși în metoda 1, apoi verificați-vă răspunsurile aici:
(2y) (x + 7x + 12) = (x + 3) (x + 4)
(x) (x + 11x - 26) = (x + 13) (x-2)
(-1) (x-6x + 9) = (x-3) (x-3) = (X-3)
Încercați probleme complexe de factoring. Aceste probleme au un factor comun în fiecare termen care trebuie mai întâi să fie luat în considerare. Shade spațiu după semnul egal pentru a vedea răspunsul și verificați-vă munca:
3x + 3x-6x = (3x) (x + 2) (x-1) ← umbrați acest spațiu pentru a vedea răspunsul.
-5xy + 30xy-25yx = (X-y) (x-5) (x-1)
Practicați cu probleme dificile. Următoarele probleme nu pot fi luate în considerare în soluții simple, deci trebuie să găsiți răspunsul formularului (_x + __) (_ x + __) prin încercare și eroare:
2x + 3x-5 = (2x + 5) (x-1) ← umbra pentru a vedea răspunsul.
9x + 6x + 1 = (3x + 1) (3x + 1) = (3x + 1) (Indiciu: poate ar trebui să încercați mai mult de un cuplu de factori pentru termenul de 9x).

sfaturi

Dacă nu puteți factoriza un trinomial quadratic (ax + bx + c), puteți folosi formula quadratică pentru a găsi valoarea lui x.
Deși nu este necesar să se știe, puteți utiliza criteriile lui Eisenstein pentru a determina rapid dacă polinomul este ireductibil, caz în care nu poate fi luat în considerare. Acest criteriu funcționează pentru orice tip de polinom, dar funcționează cel mai bine în trinomiali. Dacă există un număr prime (p) care împarte exact ultimii doi termeni și îndeplinește următoarele condiții, atunci polinomul este ireductibil:

Termenul constant (cel fără variabilă) este un multiplu de p, dar nu p.
Primul termen (de exemplu, a în ax + bx + c) nu este un multiplu de p.
De exemplu, 14x + 45x + 51, este ireductibil deoarece există un număr prime (3) care se împarte exact la 45 și 51, dar nu la 14- și 51 nu poate fi împărțit exact între 3.

avertismente

Deși este adevărat pentru trinomiurile tridimensionale, trinomialii figurați nu sunt neapărat produsul a două binomiali. De exemplu, x + 105x + 46 = (x + 5x + 2) (x - 5x + 23).

Distribuiți pe rețelele sociale:

înrudit