ertare.com

Cum să factorizăm polinoamele de gradul doi (ecuațiile patratice)

Un polinom conține o variabilă (x) ridicată la o putere (cunoscută ca un grad) și câțiva termeni sau constante. Factorizarea unui polinom înseamnă a descompune expresia într-o expresie mai mică cu termeni care se înmulțesc reciproc. Factoringul este o abilitate de algebră sau mai mare și, prin urmare, ar putea fi dificil pentru dumneavoastră să înțelegeți dacă abilitățile matematice nu sunt la acel nivel.

pași

Concepte de bază

Imaginea intitulată Polinomi de gradul doi de gradul doi (ecuații patratice) Pasul 1
1
Scrie expresia Forma standard a unei ecuații patrate este:

ax + bx + c = 0

Începeți prin a ordona termenii ecuației de la puterea cea mai mare la cel mai mic, ca în formatul anterior. De exemplu:

6 + 6x + 13x = 0

Reordonați expresia pentru a funcționa mai ușor organizând termenii:

6x + 13x + 6 = 0
  • Imaginea intitulată Polinomi de gradul doi de gradul doi (ecuații patratice) Pasul 2
    2
    Găsiți formularul facturat folosind una din metodele discutate mai jos. Factoringul polinomului are ca rezultat două expresii mai mici care se înmulțesc pentru a produce polinomul original:

    6x + 13x + 6 = (2x + 3) (3x + 2)

    În acest exemplu, (2x + 3) și (3x + 2) sunt factori ai expresiei originale, 6x + 13x + 6.
  • Imaginea intitulată Polinomi de gradul doi de gradul doi (ecuații patratice) Pasul 3
    3
    Verifică munca ta! Multiplicați factorii de exprimare. Apoi adăugați termeni similari și verificați. Începeți cu:

    (2x + 3) (3x + 2)

    Să o verificăm, înmulțind termenii în următoarea ordine, mai întâi de primul, de al doilea de al doilea, de al doilea de primul și de al doilea de al doilea, care ne dă:

    6x + 4x + 9x + 6

    De aici, putem adăuga 4x și 9x, deoarece aceștia sunt termeni similari. Știm că factorii sunt corecți deoarece, atunci când operăm, obținem ecuația inițială:

    6x + 13x + 6

    • Metoda 1
    Proces și eroare

    Dacă aveți un polinom destul de simplu, puteți descoperi factorii ei doar cu o privire. De exemplu, cu puțină practică, mulți matematicieni știu că expresia 4x + 4x + 1 are factori (2x + 1) și (2x + 1) doar pentru că l-am văzut de multe ori (evident, nu atât de ușor cu polinoame mai complicate). Pentru acest exemplu, să folosim o expresie mai puțin obișnuită:

    3x + 2x - 8
    Imaginea intitulată Polinomi de gradul doi de factor (ecuații patratice) Pasul 4
    1
    Listează factorii termenului a și c. Utilizând formatul ax + bx + c = 0, identificați termenii a și c și lista factorilor săi. Pentru 3x + 2x - 8, înseamnă:

    a = 3 și are un singur set de factori: 1 * 3

    c = -8 și are patru seturi de factori: -2 * 4, -4 * 2, -8 * 1 și -1 * 8.
  • Imaginea intitulată Polinomi de gradul doi de factor (ecuații patratice) Pasul 5
    2
    Scrieți două seturi de paranteze cu un spațiu gol. În spațiul gol veți pune constantele fiecărei expresii.

    (x) (x)
  • Imaginea intitulată Polinomi de gradul doi de nivel (ecuații patratice) Pasul 6
    3
    Completați spațiile libere cu câțiva factori de valoare posibili a. Pentru termen Pentru exemplul nostru (3x), există doar o singură posibilitate:

    (3x) (1x)
  • Imaginea intitulată Polinomi de gradul II de la factor (ecuații patratice) Pasul 7
    4
    Completați spațiile în fața lui x cu câțiva factori pentru constante. Să presupunem că am ales 8 și 1. Noi scriem:

    (3x 8) (x 1)
  • Imaginea intitulată Polinomi de gradul II de la factor (ecuații patratice) Pasul 8
    5
    Decideți ce semn (mai mult sau mai puțin) ar trebui să intre între x și numere. Pe baza semnelor expresiei inițiale, este posibil să se determine ce semne trebuie să aibă constantele. Să numim cele două constante ale factorilor noștri k și h:

    Dacă axa + bx + c atunci (x + h) (x + k)

    Dacă ax - bx - c sau ax + bx - c atunci (x - h) (x + k)

    Dacă ax - bx + c atunci (x - h) (x - k)
    Pentru exemplul nostru, 3x + 2x - 8, semnele ar trebui să fie: (x - h) (x + k), care ne dă factorii:

    (3x + 8) și (x - 1)
  • Imaginea intitulată Polinomi de gradul doi de factor (ecuații patratice) Pasul 9
    6
    Verificați exercițiul rezolvând multiplicarea. Un test rapid de verificat este să vezi dacă termenul mediu are valoarea corectă. În caz contrar, este posibil să fi ales factorii greși ai c. Să verificăm exercițiul:

    (3x + 8) (x - 1)

    Înmulțind, obținem că:

    3x - 3x + 8x - 8

    Simplificând această expresie adăugând termeni similari (-3x) și (8x) obținem:

    3x - 3x + 8x - 8 = 3x + 5x - 8

    Acum știm că folosim factori greșit:

    3x + 5x - 8 ≠ 3x + 2x - 8
  • Imaginea intitulată Polinomi de gradul doi de factor (ecuații patratice) Pasul 10
    7
    Modificați răspunsul dacă este necesar. Urmând exemplul nostru, să încercăm 2 și 4 în loc de 1 și 8:

    (3x + 2) (x - 4)

    Acum termenul nostru c este -8, dar produsul dintre (3x * -4) și (2 * x) este -12x și 2x, ceea ce adăugarea nu ne dă termenul corect de b (+ 2x).

    -12x + 2x = 10x

    10x ≠ 2x
  • Imaginea intitulată Polinomi de gradul doi de gradul II (ecuații patratice) Pasul 11
    8
    Inversați comanda dacă este necesar. Să încercăm să mutăm 2 și 4:

    (3x + 4) (x - 2)

    Acum, termenul nostru c (4 * 2 = 8) este încă corectă, dar restul multiplicării are rezultate în -6x și 4x. Dacă îi adăugăm:

    -6x + 4x = 2x

    2x ≠ -2x



    Am fost foarte aproape de 2x     b, dar are semnul greșit.
  • Imaginea intitulată Polinomi de gradul doi de gradul doi (ecuații patratice) Pasul 12
    9
    Verificați din nou semnele dacă este necesar. Vom folosi numerele în aceeași ordine, dar să schimbăm semnul minus:

    (3x - 4) (x + 2)

    Acum, termenul nostru c este încă corectă, dar restul multiplicării ne dă un rezultat (6x) și (-4x). Deoarece:

    6x - 4x = 2x

    2x = 2x
    Acum gasim 2x cea a ecuatiei originale. Acestea trebuie să fie factorii potriviți.

    • Metoda 2
    descompunere

    Această metodă identifică toți factorii posibili ai termenilor a șic și să le folosească pentru a descoperi care ar trebui să fie factorii potriviți. Dacă lucrați cu numere foarte mari sau dacă alte metode de presupus tip pare prea lungă, utilizați această metodă. Vom folosi următorul exemplu:

    6x + 13x + 6
    Imaginea intitulată Polinomi de gradul II de la factor (ecuații patratice) Pasul 13
    1
    Înmulțiți termenul la termen c. În exemplul nostru, a este 6 și c este, de asemenea, 6.

    6 * 6 = 36
  • Imaginea intitulată Polinomi de gradul doi de factor (ecuații patratice) Pasul 14
    2
    Obțineți termenul b Factoring și testare. Căutăm două numere care sunt factorii produsului a * c și care a însumat ne dau termenul b (13).

    4 * 9 = 36

    4 + 9 = 13
  • Imaginea intitulată Polinomi de gradul doi de factor (ecuații patratice) Pasul 15
    3
    Înlocuiți cele două numere în ecuație ca sumă a termenului b. Să folosim h și k pentru a reprezenta cele două numere pe care le-am obținut, 4 și 9:

    ax + kx + hx + c

    6x + 4x + 9x + 6
  • Imaginea intitulată Polinomi de gradul II de la factor (ecuații patratice) Pasul 16
    4
    Factorul polinomului prin grupare. Organizați ecuația astfel încât să puteți factorul cel mai mare factor comun (MCD) al primilor doi și ultimii doi termeni. Cei doi termeni facturați trebuie să fie aceiași. Adăugați GCF și închideți-l în paranteze alături de grupul de factoring - rezultatul va fi cel al celor doi factori:

    6x + 4x + 9x + 6

    2x (3x + 2) + 3 (3x + 2)

    (2x + 3) (3x + 2)

    • Metoda 3
    Joc triple

    Similar metodei de descompunere, metoda cu trei căi examinează factorii posibili ai produsului termenilor a și c pentru a afla valoarea posibilă a b. Luați în considerare următoarea ecuație ca exemplu:

    8x + 10x + 2


    Imaginea intitulată Polinomi de gradul doi de factor (ecuații patratice) Pasul 17
    1
    Înmulțiți termenul la termen c. Ca și în metoda de descompunere, acest lucru ne va ajuta să identificăm valorile posibile ale termenului b. În acest exemplu, a este de 8 și c este 2

    8 * 2 = 16
  • Imaginea intitulată Polinomi de gradul doi de factor (ecuații patratice) Pasul 18
    2
    Găsiți două numere al căror produs este egal cu acest număr și a cărui sumă este egală cu termenul b. Acest pas este identic cu metoda de descompunere, încercăm să eliminăm numerele pentru constante. Produsul termenilor a și c este 16, în timp ce suma este egală cu 10:

    2 * 8 = 16
    8 + 2 = 10
  • Imaginea intitulată Polinomi de gradul al doilea grad (ecuații patratice) Pasul 19
    3
    Luați cele două numere și înlocuiți-le în formula jocului triplu. Luați cele două numere din pasul anterior (să le sunăm h și k) și le înlocuiți în expresie:

    ((ax + h) (ax + k)) / a


    În acest fel, obținem:

    ((8x + 8) (8x + 2)) / 8
  • Imaginea intitulată Polinomi de gradul doi de factor (ecuații patratice) Pasul 20
    4
    Observați care dintre cei doi termeni din numerotator este perfect divizibil între a. În acest exemplu, vom testa daca (8x + 8) sau (8x + 2) poate fi împărțită la 8. (8x + 8) este divizibil cu 8, astfel încât să împartă acest termen între a și lăsăm celălalt intact.

    (8x + 8) = 8 (x + 1)

    Termenul pe care îl vom folosi este cel care rămâne după împărțirea termenului     a: (x + 1)
  • Imaginea intitulată Polinomi de gradul al doilea grad (ecuații patratice) Pas 21
    5
    Găsiți cel mai mare factor comun (MCD) pentru unul sau ambii termeni. În acest exemplu, al doilea termen are un GCF de 2, deoarece 8x + 2 = 2 (4x + 1). Alăturați-vă răspunsului cu termenul identificat în pasul anterior. Acestea sunt factorii ecuației.

    2 (x + 1) (4x + 1)

    • Metoda 4
    Diferența a două pătrate

    Unii coeficienți de polinoame sunt identificați ca "pătrate" sau ca produs al a două numere. Identificarea pătratelor permite factorizarea unor polinoame mult mai repede. Să ne uităm la ecuația:

    27x - 12 = 0
    Imaginea intitulată Polinomi de gradul doi de factor (ecuații patratice) Pasul 22
    1
    Dacă este posibil, factorul cel mai mare factor comun. În acest caz, observăm că atât 27, cât și 12 sunt divizibili cu 3, deci ne determinăm:

    27x - 12 = 3 (9x - 4)
  • Imaginea intitulată Polinomi de gradul doi de factor (ecuații patratice) Pasul 23
    2
    Determinați dacă coeficienții ecuației sunt numere pătrate. Pentru a utiliza această metodă ar trebui să fie în măsură să aplice rădăcina pătrată a ambilor termeni și a obține un număr întreg (rețineți că am lăsat semnele negativ, deoarece ca numerele sunt la pătrat poate fi rezultatul a produsului a două numere pozitive sau negative) .

    9x = 3x * 3x și 4 = 2 * 2
  • Imaginea intitulată Polinomi de gradul II de la factor (ecuații patratice) Pasul 24
    3
    Cu rădăcinile pătrate pe care tocmai le-ați identificat, scrieți factorii. Luăm valorile a și c din etapa anterioară - a = 9 y c = 4, atunci aplicăm rădăcina pătrată, √a = 3 și √c = 2. Acestea sunt coeficienții pentru expresiile facturate:

    27x - 12 = 3 (9x - 4) = 3 (3x + 2) (3x - 2)

    • Metoda 5
    Formula quadratică

    Dacă nimic nu funcționează și nu puteți influența ecuația, utilizați formula patratică. Uitați-vă la următorul exemplu:

    x + 4x + 1 = 0
    Imaginea intitulată Polinomi de gradul II (ecuații patratice) Factorul 25
    1
    Înlocuirea valorilor corespunzătoare în formula patratică:

    x = -b ± √ (b - 4ac) ---------------------
    a 2-

    Obținem expresia:

    x = -4 ± √ (4 - 4 • 1 • 1) / 2
  • Imaginea intitulată Polinomi de gradul doi de gradul doi (ecuații patratice) Pasul 26
    2
    Rezolva pentru a găsi x. În final, veți obține două valori ale lui x. După cum se poate observa, se obțin două răspunsuri:
    x = -2 + √ (3) sau x = -2 - √ (3)
  • Imaginea intitulată Polinomi de gradul II de grad 2 (ecuații patratice) Pasul 27
    3
    Utilizați valoarea x pentru a găsi factorii. Înlocuiți valorile pe care le-ați obținut de la x ca constante în două expresii polinomiale. Acestea vor fi factorii. Dacă numim cele două valori ale lui x as h și k, vom scrie factorii după cum urmează:

    (x - h) (x - k)

    În acest caz, răspunsul final este:

    (X - (-2 + √ (3)) (x - (-2 - √ (3)) = (x + 2 - √ (3)) (x + 2 + √ (3))

    • Metoda 6
    Cu un calculator

    Dacă vi se permite să o utilizați, un calculator de grafică simplifică foarte mult procesul de factoring, în special în testele standard. Aceste instrucțiuni sunt pentru un calculator de grafică TI (fabricat de Texas Instruments). Vom folosi următoarea ecuație ca exemplu:

    y = x - x - 2
    Imaginea intitulată Polinomi de gradul doi de gradul doi (ecuații patratice) Pasul 28
    1
    Introduceți ecuația în calculator. Veți folosi rezoluția ecuațiilor, cunoscută și sub numele de ecran [Y =].
  • Imaginea intitulată Polinomi de gradul doi de factor (ecuații patratice) Pasul 29
    2
    Graficează ecuația folosind calculatorul. După intrarea în ecuație, apăsați tasta [GRAPH] și un arc neted care reprezintă ecuația (ar trebui să fie un arc de cerc, pentru că noi lucrăm cu polinoame) apar.
  • Imaginea intitulată Polinomi de gradul doi de gradul doi (ecuații patratice) Pasul 30
    3
    Identificați punctul în care arcul intersectează axa x. Deoarece ecuațiile polinomiale sunt în mod normal scrise în forma ax + bx + c = 0, acestea sunt cele două valori ale lui x care determină expresia să fie egală cu 0:

    (-1, 0), (2, 0)

    x = -1, x = 2
  • Dacă nu puteți identifica cu ochiul liber punctul în care graficul atinge axa x, apăsați [2] și apoi [TRACE]. Apăsați [2] sau selectați "zero". Glisați cursorul spre stânga unei intersecții și apăsați pe [ENTER]. Glisați cursorul spre dreapta unei intersecții și apăsați pe [ENTER]. Glisați cursorul cât mai aproape de intersecție și apăsați [ENTER]. Calculatorul va găsi valoarea lui x. Faceți același lucru pentru a găsi cealaltă intersecție.
  • Imaginea intitulată Polinomi de gradul doi de factor (ecuații patratice) Pasul 31
    4
    Înlocuiți valorile obținute de la x în etapa anterioară în două expresii factoriale. Dacă numim cele două valori ale lui x as h și k, expresia pe care o vom folosi va fi:

    (x - h) (x - k) = 0

    Prin urmare, cei doi factori ar trebui să fie:

    (x - (1)) (x - 2) = (x + 1) (x - 2)

    • sfaturi

    • Dacă aveți un calculator TI-84 (grafic), există un program numit SOLVER pentru a rezolva ecuațiile patratice. De asemenea, servește la rezolvarea polinomilor de orice alt grad.
    • Dacă un termen nu există, coeficientul este 0. Este util să rescrieți ecuația dacă această situație apare, de exemplu, x + 6 = x + 0x + 6.
    • Dacă ați luat polinom utilizând formula pătratică și au obținut radicalii de răspuns, puteți converti valorile x în fracțiuni pentru a efectua o verificare mai ușor.
    • Dacă termenul nu are un coeficient scris, coeficientul este 1, de exemplu, x = 1x.
    • Cu o anumită practică, puteți factorii polinomali mental. Dar până atunci, asigurați-vă că scrieți întotdeauna răspunsul.

    avertismente

    • Dacă intenționați să învățați conceptul de factoring în clasa matematică, acordați atenție ceea ce spune profesorul și nu folosiți numai metoda preferată. Profesorul dvs. vă poate solicita să utilizați o anumită metodă în examen sau să nu permiteți utilizarea calculatoarelor de grafic.

    Lucruri de care ai nevoie

    • creion
    • fabricarea hârtiei
    • ecuația patratică (sau polinomul de gradul al doilea) -
    • calculator grafic (opțional).
    Distribuiți pe rețelele sociale:

    înrudit
    Cum combinați termeni similariCum combinați termeni similari
    Cum se divide polinomiiCum se divide polinomii
    Cum se divide polinomii folosind diviziunea sinteticăCum se divide polinomii folosind diviziunea sintetică
    Cum de a găsi gradul de polinomCum de a găsi gradul de polinom
    Cum să găsiți vârful unei ecuații patrateCum să găsiți vârful unei ecuații patrate
    Cum să găsiți nivelele unei funcțiiCum să găsiți nivelele unei funcții
    Cum să găsiți ecuațiile asimptotelor unei hiperboliiCum să găsiți ecuațiile asimptotelor unei hiperbolii
    Cum să înțelegi algebraCum să înțelegi algebra
    Cum să scrieți în modul standardCum să scrieți în modul standard
    Cum se scrie o expresie algebricăCum se scrie o expresie algebrică
    » » Cum să factorizăm polinoamele de gradul doi (ecuațiile patratice)

    © 2011—2020 ertare.com