ertare.com

Cum să înțelegeți calculul

Calculul este o ramură a matematicii care se concentrează pe limite, funcții, derivate, integrale și serii infinite. Această arie constituie o parte majoră a matematicii și formează baza multor ecuații care descriu fizica și mecanica. Veți avea nevoie, probabil, o clasă la nivel de universitate pentru a înțelege pe deplin calcul, dar acest articol vă poate ajuta să începeți și să fie conștienți de importante concepte precum și perspective tehnice.

pași

Metoda 1
Revedeți conceptele de bază ale calculului

Imaginea intitulă Înțelegerea calculului Pasul 1
1
Rețineți că calculul este studiul modului în care se schimbă lucrurile. Calculul este o ramură a matematicii care privește numerele și liniile, de obicei din lumea reală, și descrie modul în care acestea se schimbă. Deși acest lucru nu pare util la început, calculul este una dintre ramurile matematicii cele mai utilizate în lume. Imaginați-vă că aveți instrumentele necesare pentru a examina cât de repede afacerea dvs. crește într-un anumit moment sau pentru a schimba cursul unei nave spațiale și cât de repede consumă combustibil. Calculul este un instrument important în inginerie, economie, statistică, chimie și fizică și a contribuit la crearea a numeroase invenții și descoperiri ale lumii reale.
  • Imaginea intitulă Înțelegerea calculului Pasul 2
    2
    Amintiți-vă că funcțiile sunt relații între două numere și sunt folosite pentru a mapa relațiile în lumea reală. Funcțiile sunt reguli care determină modul în care numerele se raportează unul la celălalt și matematicienii le folosesc pentru a crea grafice. Într-o funcție, fiecare valoare introdusă produce un rezultat. De exemplu, la y = 2x + 4, fiecare valoare de "x" vă oferă o valoare nouă "și". Dacă x = 2, atunci y = 8- dacă x = 10, atunci y = 24. Toate studiile de calcul funcționează pentru a vedea cum se schimbă, folosind funcții pentru a mapa relațiile în lumea reală.
  • Funcțiile sunt adesea scrise ca f (x) = x + 3. Aceasta înseamnă că, în funcția f (x), adăugați întotdeauna 3 la numărul pe care îl introduceți "x". Dacă doriți să introduceți 2, scrieți f (2) = 2 + 3, sau f (2) = 5.
  • Functiile pot deasemenea directiona miscarile complexe. De exemplu, NASA are funcții care indică viteza unei rachete pe baza cantității de ardere a combustibilului, a rezistenței la vânt și a greutății navei.
  • Imaginea intitulă Înțelegerea calculului Pasul 3
    3
    Gândiți-vă la conceptul de infinit. Infinitul este atunci când un proces este repetat mereu. Nu este un loc specific (nu poți merge la infinit), ci comportamentul unui număr sau al unei ecuații se face pentru totdeauna. Acest lucru este important pentru a studia schimbarea: Poate doriți să știți cât de repede mașina se mișcă într-un anumit moment, dar asta înseamnă cât de repede ați fost în această a doua întâlnire? În acea milisecundă? În acea nanosecundă? Puteti gasi sume infinit mai mici de timp pentru a fi foarte precise si acolo se face calculul.
  • Imaginea intitulă Înțelegerea calculului Pasul 4
    4
    Înțelegeți conceptul de limite. O limită indică ce se întâmplă atunci când ceva se apropie de infinit. Luați numărul 1 și împărțiți-l cu 2. Apoi continuați să îl împărțiți din nou cu 2. 1 ar deveni 1/2, apoi 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, etc. De fiecare dată, numărul devine din ce în ce mai mic, "se apropie" mai mult la zero. Dar unde ar termina? De câte ori trebuie să divizi cu 2 pentru a obține zero? În calcul, în loc să răspundeți la această întrebare, stabiliți a limită. În acest caz, limita este egală cu 0.
  • Limitele sunt mai ușor de văzut într-un grafic. De exemplu, ele sunt punctele pe care un grafic aproape atinge, dar niciodată nu le face.
  • Limitele pot fi un număr, nimic sau chiar infinit. De exemplu, dacă adăugați 1 + 2 + 2 + 2 + 2 + ... pentru totdeauna, numărul dvs. final ar fi infinit de mare. Limita ar fi infinită.
  • Imaginea intitulă Înțelegerea calculului Pasul 5
    5
    Revedeți conceptele matematice esențiale ale algebrei, trigonometriei și precalculului. Calculul se bazează pe multe dintre formele de matematică pe care le-ați învățat de mult timp. Cunoașterea completă a acestor subiecte vă va permite să învățați și să înțelegeți calculul mult mai ușor. Unele subiecte pe care ar trebui să le examinați sunt:
  • algebră: să înțeleagă diferite procese și să învețe să rezolve ecuațiile și sistemele de ecuații pentru mai multe variabile. Înțelegeți conceptele de bază ale seturilor. Aflați mai multe despre cum să ecuații grafice.
  • Geometria: geometria este studiul formelor. Înțelegeți conceptele de bază ale triunghiurilor, pătratelor și cercurilor și cum puteți calcula lucruri precum zona și perimetrul. Acesta include unghiuri, linii și sisteme de coordonate.
  • trigonometrie: trigonometria este o ramură a matematicii care se ocupă cu proprietățile cercurilor și a triunghiurilor drepte. Aflați cum să utilizați identități trigonometrice, grafice, funcții și funcții trigonometrice inverse.
  • Imaginea intitulă Înțelegerea calculului Pasul 6
    6
    Cumpărați un calculator grafic. Calculul este incredibil de greu de înțeles fără a vedea ce se face. Graficele calculatoarelor preiau funcții și le fac vizibile, ceea ce vă va permite să înțelegeți mai bine lucrarea pe care o veți face. De multe ori, puteți vedea limite pe ecran și puteți calcula automat derivate și funcții.
  • Multe smartphone-uri și tablete oferă în prezent aplicații ieftine, dar eficiente, pentru a arăta dacă nu doriți să cumpărați un calculator complet.

    • Metoda 2
    Înțelegeți derivații

    Imaginea intitulă Înțelegerea calculului Pasul 7
    1
    Rețineți că calculul este utilizat pentru a studia "schimbarea instantanee". Știind de ce se schimbă ceva într-un moment exact este nucleul calculului. De exemplu, calculul indică nu numai viteza unei mașini, ci și cât de mult se schimbă viteza la un moment dat. Aceasta este una dintre cele mai simple utilizări ale calculului, dar este incredibil de importantă. Imaginați-vă cât de utile ar fi această cunoaștere pentru viteza unei nave spațiale care încearcă să ajungă pe lună!
    • Se numește găsirea modificării instantanee "diferențiere". Calculul diferențial este prima dintre cele două ramuri principale ale calculului.
  • Imaginea intitulă Înțelegerea calculului Pasul 8
    2
    Utilizați derivați pentru a înțelege modul în care lucrurile se schimbă instantaneu. "derivat" Este un cuvânt care sună sofisticat și inspiră anxietate. Cu toate acestea, conceptul în sine nu este atât de greu de înțeles, înseamnă pur și simplu cât de rapid se schimbă ceva. Cele mai frecvente derivate din viața de zi cu zi sunt legate de viteză. Probabil nu-i spuneți "derivate din viteza", dar o poți suna "accelerare".
  • Accelerația este derivată. Aceasta indică cât de repede ceva crește sau scade viteza sau cum se schimbă.
  • Imaginea intitulă Înțelegerea calculului Pasul 9
    3
    Rețineți că rata de schimbare este panta dintre două puncte. Aceasta este una dintre constatările esențiale ale calculului. Rata de schimbare între două puncte este egală cu panta liniei care le conectează. Gândiți-vă la o linie de bază, cum ar fi ecuația y = 3x. Panta liniei este de 3, ceea ce înseamnă că, pentru fiecare valoare nouă "x". "și" este înmulțită cu 3. Pantă este aceeași cu rata de schimbare: o panta de 3 înseamnă că linia se modifică cu un factor de 3 pentru fiecare schimbare în "x". Când x = 2, y = 6 - când x = 3, y = 9.
  • Panta unei linii este schimbare în "și" împărțit între schimbarea în "x".
  • Cu cât panta este mai mare, linia va fi mai abruptă. Se poate spune că liniile abrupte se schimbă foarte repede.
  • Examinați cum să găsiți panta unei linii dacă nu vă amintiți bine.
  • Imaginea intitulă Înțelegerea calculului Pasul 10
    4
    Rețineți că puteți găsi panta liniilor curbe. Găsirea pantei unei linii drepte este destul de simplă: cât de mult se schimbă? "și" pentru fiecare valoare din "x"? Dar ecuațiile complexe cu curbe, cum ar fi y = x, sunt mult mai greu de găsit. Cu toate acestea, puteți găsi oricum rata de schimbare între oricare două puncte. Pur și simplu trageți o linie între ele și calculați panta pentru a găsi rata de schimbare.
  • De exemplu, în y = x, puteți lua două puncte și puteți obține panta. Luați (1,1) și (2,4). Versantul ar fi egale între ele (4-1) / (2-1) = 4/2 = 2. Aceasta înseamnă că rata de schimb între x = 1 și x = 2 este 2.
  • Imaginea intitulă Înțelegerea calculului Pasul 11
    5
    Faceți punctele mai aproape pentru a obține o rată de schimbare mai exactă. Cu cât sunt mai aproape de cele două puncte, cu atât este mai probabil să aveți un răspuns precis. Să presupunem că doriți să știți cât de repede mașina accelerează doar atunci când apăsați pedala de accelerație. Nu trebuie să măsurați schimbarea vitezei dintre casă și supermarket, ar trebui să măsurați schimbarea vitezei în a doua după apăsarea pedalei de accelerație. Cu cât măsura este mai apropiată în acel moment, cu atât va fi mai precisă citirea voastră.
  • De exemplu, oamenii de știință studiază viteza la care unele specii dispăreau pentru a încerca să le salveze. Cu toate acestea, mai multe animale mor adesea în iarna decât în ​​vară, astfel încât studierea ritmului schimbărilor pe tot parcursul anului nu este la fel de utilă. Oamenii de stiinta ar gasi rata de schimbare dintre puncte mai apropiate, cum ar fi de la 1 iulie la 1 august.
  • Imaginea intitulă Înțelegerea calculului Pasul 12
    6
    Utilizați linii infinit de mici pentru a găsi "ritmul instantaneu al schimbării" sau derivatul. Acesta este locul în care calculul devine adesea confuz, dar acesta este de fapt rezultatul a două fapte simple. În primul rând, știți că panta unei linii este egală cu cât de repede se schimbă. În al doilea rând, știți că cu cât sunt mai aproape de puncte de pe linie, cu atât este mai precisă citirea. Dar cum puteți găsi rata de schimbare într-un punct dacă panta este relația dintre două puncte? Răspunsul calculului: trebuie să alegeți două puncte infinit apropiate unele de altele.
  • Gândiți-vă la exemplul în care ați continuat să împărțiți 1 la 2 de mai multe ori, obținând 1/2, 1/4, 1/8, etc. Pe termen lung, ajungeți atât de aproape de zero încât răspunsul este practic zero. Aici, punctele sunt atât de apropiate încât sunt "practic instantanee". Aceasta este natura derivatelor.


  • Imaginea intitulă Înțelegerea calculului Pasul 13
    7
    Învățați să calculați o varietate de instrumente derivate. Există multe tehnici diferite pentru a găsi un derivat în funcție de ecuație, dar majoritatea au sens dacă vă amintiți principiile de bază ale derivatelor rezumate mai sus. Derivații sunt în esență o modalitate de a găsi panta unei linii "infinit de mică". Acum că cunoașteți teoria derivatelor, o mare parte a locului de muncă găsește răspunsurile.
  • Imaginea intitulă Înțelegerea calculului Pasul 14
    8
    Căutați ecuații derivate pentru a anticipa rata de schimbare în orice moment. Utilizarea derivatelor pentru a găsi rata de schimbare într-un punct este utilă, dar frumusețea calculului este că vă permite să creați un nou model pentru fiecare funcție. De exemplu, derivatul y = x este Y = 2x. Aceasta înseamnă că puteți găsi derivatul pentru fiecare punct al graficului y = x prin simpla înlocuire a acestuia în ecuația derivată. La punctul (2, 4), unde x = 2 și y = 4, derivatul este 4, deoarece Y = 2 * (2).
  • Există note diferite pentru derivate. În etapa anterioară, derivatele au fost marcate cu un simbol premium: pentru derivatul din și,{ displaystyle și,}și`.{ displaystyle și ^ { prime}.Aceasta se numește "Notă Lagrange".
  • Există, de asemenea, un alt mod popular de a scrie derivate. În loc să folosești simbolul premium, este scris ddx.{ displaystyle { frac { mathrm {d}} {{ mathrm {d}} x}}}Amintiți-vă că funcția și=x2{ displaystyle y = x ^ {2}}depinde de variabila x.{ displaystyle x.}Deci, vom scrie derivatul ca dșidx{ displaystyle { frac {{mathrm {d}} și} {{ mathrm {d}} x}}}și{ displaystyle și}cu privire la x.{ displaystyle x.}Aceasta se numește "Notația Leibniz".
  • Imaginea intitulă Înțelegerea calculului Pasul 15
    9
    Amintiți-vă exemple de derivate ale lumii reale în cazul în care totuși aveți dificultăți în a înțelege acest lucru. Cel mai simplu exemplu este acela al vitezei, care oferă multe derivate diferite pe care le vedem zilnic. amintiți-vă: un derivat este o măsură care indică cât de repede se schimbă ceva. Gândiți-vă la experimentul de bază de a rula o marmură pe o masă, în care măsurați cât de departe și cât de repede se mișcă de fiecare dată. Acum imaginați-vă că marmura urmărește o linie pe un grafic. Aici ar trebui să utilizați derivații pentru a măsura modificările instantanee în orice punct de pe acea linie.
  • Cât de repede locația de schimbare a marmurei? Care este rata de schimbare, sau derivatul, a mișcării marmurei? Acest derivat este ceea ce numim noi "viteză".
  • Rulați marmura pe o pantă și vedeți cât de repede se obține viteza. Care este rata de schimbare, sau derivatul, a vitezei marmurei? Acest derivat este ceea ce numim noi "accelerare".
  • Trageți marmura pe o cale care urcă și coboară, ca un roller coaster. Cât de repede se obține viteza în jos și cât de repede pierde viteza în sus? Cât de repede se mișcă exact pe jumătate în sus pe prima pantă? Aceasta ar fi rata de schimbare instantanee, sau derivată, a marmurei respective la acel punct specific.

    • Metoda 3
    Înțelege integralele

    Imaginea intitulă Înțelegerea calculului Pasul 16
    1
    Rețineți că trebuie să utilizați calculul pentru a găsi zone și volume complexe. Calculul vă permite să măsurați forme complexe care sunt, de obicei, prea dificile. De exemplu, luați în considerare încercarea de a afla cât de multă apă este într-un lac lung și într-un mod ciudat. Ar fi imposibil să se măsoare separat fiecare galon de apă sau să se folosească o riglă pentru a măsura forma lacului. Calculul permite studierea modului în care marginile lacului se schimbă și se utilizează acele informații pentru a afla cât de multă apă este în interiorul acestuia.
    • Efectuarea de modele geografice și studierea volumului utilizează integrare. Integrarea este a doua ramură principală a calculului.
  • Imaginea intitulă Înțelegerea calculului Pasul 17
    2
    Înțelegeți că integrarea găsește zona sub un grafic. Integrarea este utilizată pentru a măsura spațiul sub orice linie, ceea ce permite găsirea zonei în moduri ciudate sau neregulate. Luați în considerare ecuația y = x, care arată ca un uriaș U. S-ar putea să doriți să aflați cât spațiu este mai jos de U și puteți utiliza integrarea pentru ao găsi. Deși acest lucru poate părea inutil, gândiți-vă la utilizări în industria prelucrătoare. Puteți face o funcție care arată ca o parte nouă și folosiți integrarea pentru a afla zona acelei părți, ceea ce vă va ajuta să plasați o comandă pentru cantitatea corectă de material.
  • Imaginea intitulă Înțelegerea calculului Pasul 18
    3
    Rețineți că este necesar să selectați o zonă care să se integreze. Nu puteți integra pur și simplu o întreagă funcție. De exemplu, y = x este o linie diagonală care urmează infinit și nu o puteți integra, deoarece nu se va termina niciodată. Când integrați funcțiile, trebuie să alegeți o zonă, ca toate punctele dintre x = 2 și x = 5.
  • Imaginea intitulă Înțelegerea calculului Pasul 19
    4
    Amintiți-vă cum să găsiți zona unui dreptunghi. Imaginați-vă că aveți o linie orizontală pe un grafic ca y = 4. Pentru a găsi zona de mai jos, v-ar găsi aria unui dreptunghi între y = 0 și y = 4. Acest lucru este ușor de măsurat, dar nu s-ar lucra pentru linii curbe ele nu pot deveni cu ușurință dreptunghiuri.
  • Imaginea intitulă Înțelegerea calculului Pasul 20
    5
    Rețineți că integrarea adaugă multe dreptunghiuri mici pentru a găsi zona. Dacă vă concentrați prea mult pe o curbă, aceasta va arăta netedă. Acest lucru se întâmplă în fiecare zi: nu puteți vedea curba Pământului pentru că suntem foarte aproape de suprafața sa. Integrarea creează un număr infinit de dreptunghiuri sub o curbă care sunt atât de mici încât sunt practic plane, ceea ce face posibilă măsurarea acestora. Adăugați-le pentru a obține zona sub o curbă.
  • Imaginați-vă că adăugați multe bucăți mici sub grafic și că lățimea fiecărei bucăți este aproape zero.
  • Imaginea intitulă Înțelegerea calculului Pasul 21
    6
    Aflați cum să citiți și să scrieți integrale corect. Integralii au 4 părți. Un model tipic arată astfel:

    ∫F(x)dx{ displaystyle int f (x)} { mathrm {d}} x}
  • Primul simbol, ∫,{ displaystyle int,}este simbolul integrării (în realitate este un S alungit).
  • A doua parte, F(x),{ displaystyle f (x),}Este funcția. Când se află în interiorul integralului, se numește "integrarea".
  • În cele din urmă, dx{ displaystyle { mathrm {d}} x}la sfârșit vă va spune despre ce variabilă veți integra. Ca funcție F(x){ displaystyle f (x)}depinde de x,{ displaystyle x,}trebuie să o integrați cu respect.
  • Amintiți-vă că variabila pe care o veți integra nu va fi întotdeauna x,{ displaystyle x,}
    Imaginea intitulă Înțelegerea calculului Pasul 22
    7
    Aflați cum să găsiți integrale. Integrarea vine în mai multe forme și va trebui să înveți multe formule diferite pentru a integra fiecare funcție. Cu toate acestea, toți respectă principiile rezumate mai sus: integrarea găsește un număr infinit de dreptunghiuri pentru a le adăuga. Acestea sunt diferitele modalități de a găsi integrale:
  • Integrare prin substituție.
  • Integrați integrale nedefinite.
  • Integrați prin părți.
  • Imaginea intitulă Înțelegerea calculului Pasul 23
    8
    Rețineți că integrarea inversează diferențierea. Aceasta este o regulă de calcul și de necontestat a condus numeroase progrese științifice și tehnologice. Deoarece integrarea și diferențierea sunt atât de strâns legate, o combinație de ambele pot fi utilizate pentru a găsi rata de schimbare, accelerare, viteză, locație, mișcare, etc, indiferent de informațiile pe care le au.
  • De exemplu, amintiți-vă că derivatul de viteză este de accelerație, astfel încât să puteți utiliza viteza pentru a găsi accelerația. Dar dacă știi doar accelerarea ceva (cum ar fi obiecte care se încadrează datorită gravitației), puteți integra pentru a găsi viteza. Prin urmare, indiferent de datele pe care le aveți, puteți utiliza integrarea și diferențierea pentru a afla mai multe.
  • Imaginea intitulă Înțelegerea calculului Pasul 24
    9
    Rețineți că integrarea poate găsi și volumul obiectelor tridimensionale. Rotirea unei forme plate este o modalitate de a crea solide tridimensionale. Imaginați-vă că transformați o monedă pe masă în fața dvs.: vedeți cum se pare că o sferă se rotește. Puteți utiliza acest concept pentru a găsi volumul într-un proces cunoscut sub numele de "volum pe rotație".
  • Cu aceasta puteți găsi volumul oricăror solide din lume, atâta timp cât aveți o funcție care o reflectă. De exemplu, puteți crea o funcție care să urmărească partea de jos a unui lac și apoi să o utilizați pentru a găsi volumul lacului sau cantitatea de apă pe care o deține.

    • sfaturi

    • Clarificați-vă problemele consultându-vă profesorul.
    • Începeți de la elementele de bază.
    • Acordați atenție în clasă.
    • Practica este perfectă, deci faceți probleme de practică în manualul dvs. și revizuiți răspunsurile pentru a vă ajuta să înțelegeți conceptele.
    Distribuiți pe rețelele sociale:

    înrudit
    Cum să înțelegeți programarea orientată pe obiecteCum să înțelegeți programarea orientată pe obiecte
    Cum se confruntă cu pietre la rinichiCum se confruntă cu pietre la rinichi
    Cum să predați operațiunile matematice unui copil cu autismCum să predați operațiunile matematice unui copil cu autism
    Cum să înveți matematicaCum să înveți matematica
    Cum să înveți trigonometriaCum să înveți trigonometria
    Cum să aprobe calcululCum să aprobe calculul
    Cum se calculează un interes simpluCum se calculează un interes simplu
    Cum se calculează absorbția molarăCum se calculează absorbția molară
    Cum să calculați ratingulCum să calculați ratingul
    Cum se convertesc de la grade la radianiCum se convertesc de la grade la radiani
    » » Cum să înțelegeți calculul

    © 2011—2020 ertare.com