Cum să determinați dacă o serie infinită este convergentă

Seria infinită poate fi copleșitoare și complicată deoarece este dificil de vizualizat. Este foarte dificil să vedem printr-o simplă inspecție dacă o serie este convergentă sau nu - cu câteva secole în urmă, ar fi trebuit să luăm ore de testare pentru a rezolva o singură întrebare. Dar acum, datorită matematicienilor străluciți, avem criterii de convergență pentru a determina dacă o serie converge sau nu, ceea ce este foarte practic. Aceste teste sunt folosite pentru a găsi dacă o serie este convergentă sau divergentă, nu pentru a calcula suma. Asigurați-vă că aveți, de asemenea, o cunoaștere decentă a calculului.

conținut

Pași
Sfaturi
Avertismente

pași

Imaginea intitulată Determinarea dacă o serie infinită converge pasul 1

Efectuați primul test de bază. Există o teoremă clară care afirmă că dacă suma pentru infinitatea unei funcții f converge, atunci limita funcției f este 0. De exemplu, să presupunem că avem funcția x ^ 2, aceasta nu are nici o limită, deci suma pentru Infinitul se diferențiază. Cu toate acestea, în funcția 1 / x limita este 0, deci trebuie să continuăm. Dacă limita nu este egală cu zero, atunci vom ști imediat că seria este divergentă. NOTĂ: Conversația nu este adevărată: dacă limita este zero, aceasta nu înseamnă că seria este convergentă. Va trebui să facem mai multe teste.

Imaginea intitulată Determină dacă o serie infinită converge pasul 2

Căutați serii geometrice. Aceasta este o teoremă foarte clară și ușor de localizat, deci ar trebui să o căutați mereu. O serie geometrică este o sumă infinită, unde formula este r ^ k, unde k este variabilă și r este mai mare de -1 și mai mică de 1. Seria geometrică va fi întotdeauna convergentă. În plus, puteți chiar calcula suma seriei cu formula 1 / (1-r).

Imagine cu titlul Scrieți un joc de Crăciun Pasul 4

Căutați seria p. Seria p este sumarea funcțiilor cu forma 1 / (x ^ p), unde x este orice număr. Teorema susține că dacă p este mai mare decât unul, atunci seria este convergentă - și dacă p este mai mică sau egală cu una, atunci seria este divergentă. Aceasta înseamnă că în primul nostru exemplu, 1 / x diverge - ca 1 / (x ^ 1), și în acest caz p = 1. Aceasta se numește serie armonică. 1 / (X ^ 2) converge deoarece 2 este mai mare decât 1.

Ce trebuie să faceți dacă nu funcționează niciunul dintre testele de mai sus. Dacă un test este neconcludent sau se dovedește a fi irelevant, încercați să utilizați un alt test, cum ar fi criteriile de convergență. Nu este întotdeauna evident ce să încercați mai întâi - practica vă va face să luați decizii mai bune, dar nu există o metodă stabilită pentru a determina ce criterii să alegeți.

Criteriu de comparație directă ("test comparativ"). Să presupunem că aveți două seturi de termeni pozitivi: a (n) și b (n). Apoi, i) dacă suma infinită a lui b (n) converge și a (n) este mai mică decât b (n) (pentru un n suficient de mare), atunci suma a (n) converge. ii) Dacă b (n) se diferențiază și a (n)>b (n), atunci a (n) diferă de asemenea. Exemplu, să presupunem că avem seria 2 / x - putem compara aceasta cu 1 / x. Deoarece deja știm că 1 / x este divergent și pentru că 2 / x > 1 / x, rezultă că 2 / x diferă de asemenea. Deci, metoda de bază este de a folosi o serie cunoscută pentru a determina dacă seria necunoscută este convergentă sau divergentă.

Imaginea intitulată Determină dacă o serie infinită converge la pasul 4Bullet1

Criteriul de comparare pe etape a limitei coeficientului ("test de comparație a limitelor"). Dacă a (n) și b (n) sunt serii de termeni pozitivi și limita a (n) / b (n) există și este mai mare decât 0, atunci ambele serii vor fi convergente sau ambele serii vor fi divergente. Din nou, acest lucru necesită utilizarea unei serii cunoscute. Metoda constă în general în alegerea unei a doua serii a cărei putere mai mare este egală cu puterea mai mare a seriei care ne-a fost dată. De exemplu, dacă ne dați seria 1 / (x ^ 3 + 2x + 1), atunci este rezonabil să o comparați cu 1 / (x ^ 3).

Imaginea intitulată Determină dacă seria Infinite converge la pasul 4Bullet2

Criteriul integral al lui Cauchy ("test integral"). Presupunem că o funcție este pozitivă, continuă și descrescătoare pentru un x mai mare sau egal cu unul. Deci, seria infinită f (n) este convergentă dacă: integrala 1 la infinitatea lui f (x) există - pe de altă parte, ea va fi divergentă dacă integritatea nu există. Deci, practic, integrează funcția și calculează limita la infinit. Dacă există, atunci seria este convergentă - dacă nu există, atunci seria este divergentă.

Imaginea intitulată Determină dacă o serie infinită converge la pasul 4Bullet3

Criteriul din Leibniz ("testul seriei alternante"). Dacă un (k)>a (k + 1)>0 pentru o valoare k suficient de mare, iar limita a (n) este 0, atunci seria alternantă (-1) ^ n a (n) este convergentă. Puneți mai ușor, dacă aveți o serie alternativă (o serie în care fiecare termen își schimbă semnul), apoi eliminați partea alternativă a funcției și calculați limita a ceea ce rămâne. Dacă limita există, atunci seria este convergentă.

Criteriile lui d`Alembert, criteriu al coeficientului sau criteriului raportului ("testul raportului"). Având în vedere o serie infinită a (n), trebuie să găsiți (n + 1), termenul general pentru următorul termen din serie. Apoi, calculați un (n + 1) / a (n), utilizați un modul de continuitate, dacă este necesar. Calculați limita unui (n + 1) / a (n) - dacă limita există, vă poate spune unul din cele trei lucruri. 1) Dacă limita este mai mică decât una, atunci seria este convergentă. 2) Dacă limita este mai mare decât una, atunci seria este divergentă. 3) Dacă limita este egală cu una, atunci testul nu este concludent și nu se poate stabili nimic despre convergența seriei.

Acestea sunt principalele criterii de convergență și sunt extrem de utile. Dacă nici una dintre aceste lucrări nu este, cel mai probabil, problema este de nerezolvat sau că ați făcut o greșeală. Aceste criterii pot fi aplicate la mai multe lucruri, cum ar fi seria de putere, seria Taylor și multe altele. Este foarte util să cunoaștem aceste criterii, deoarece nu există într-adevăr un mod mai simplu de a determina dacă există convergență sau nu.

sfaturi

Verificați întotdeauna limita și căutați seria geometrică sau seria p înainte de a utiliza un criteriu de comparație. Acest lucru vă poate economisi mult timp și efort.

avertismente

Nu utilizați calculatorul pentru toate problemele.

Distribuiți pe rețelele sociale:

înrudit