Cum se calculează transformarea Fourier a unei funcții

Transformările Fourier pot fi cu ușurință capturate dacă sunt urmate anumite pași cu un ritm atent organizat. Transformările Fourier sunt baza multor părți ale civilizației moderne. Acestea includ comunicarea mobilă și fotografia digitală, laserele și optica. Transformata Fourier a fost ramificată în alte instrumente, cum ar fi transformările discrete Fourier, wavelets (cunoscute pentru a fi utilizate în fișierele JPeg și MPeg), recunoașterea modelului, finanțe, scanări medicale și multe alte utilizări.

pași

WikiHowFou01.jpg" class ="imagine lightbox">

Aflați ce este o funcție periodică. O funcție periodică își repetă forma într-un interval de timp cunoscut. Aceasta este, f ( t) = f ( t + nT), unde n este orice număr întreg.
Aceste intervale sunt numite perioade. În relația anterioară, T Este perioada.

Aflați ideea de bază a transformării Fourier în propria voastră limbă.

Orice funcție periodică poate fi descompusă, poate fi scrisă în funcție de un anumit număr de funcții sinusoidale de bază cu perioade simple.

Fiecare funcție sinusoidală are frecvența unui întreg care este un multiplu al frecvenței de bază.

WikiHowFou02.jpg" class ="imagine lightbox">

Ecuația de mai sus spune că orice funcție periodică poate fi scrisă sau extinsă ca suma totală a:

O valoare constantă, 1/2la₀, denumită și valoarea DC și un număr de funcții sinusoidale. În funcție de funcția originală, o parte din expansiune poate fi zero.

ω₀ este frecvența de bază circulară care poate fi ușor calculată din perioada de bază T.

Numai rămâne să calculați la₀ și o formulă care creează întregul la_n și întregul b_n. Faceți asta folosind proprietatea ortogonalității funcțiilor sinusoidale.

Aflați sensul funcțiilor "ortogonale". Funcțiile ortogonale sunt perpendiculare între ele. Aceasta înseamnă că, dacă luați două funcții, să spunem f ( t) și g ( t), dintr-un set de ele, atunci:

WikiHowFou03.jpg" class ="imagine lightbox">

ortogonalitate

Funcțiile sinusoidale reprezintă un grup similar de funcții ortogonale.

Comparați aceasta cu noțiunea de bază a vectorilor perpendiculați, în care produsul scalar este egal cu zero. Produsul scalar este suma produselor componente în perechi de doi vectori. Aici, în loc de sumă, trebuie calculat un integral.

Cunoașteți diferența dintre a "vector" și a "fazorului".

Un vector trasează un punct într-o linie dreaptă până la un alt punct.

Un fazor rotește un vector în jurul unui punct cu o anumită frecvență circulară ω. Un phasor este un vector rotativ.

WikiHowFou07.jpg" class ="imagine lightbox" title ="Vector rotativ">

Observați că atunci când un vector cu lungime fixă se rotește în jurul unui punct, proiecția sa, umbra sa pe axa adevărată, se schimbă treptat de la o valoare maximă la zero și apoi la un număr negativ maxim și înapoi la zero și înapoi la o valoare maximă pozitivă.

Lungimea proiecției vectorului rotativ, umbrită pe axa imaginară, se schimbă într-o manieră sinusoidală.

WikiHowFou05.jpg" class ="imagine lightbox" title ="Seria Fourier în formă complexă">

Imaginea intitulată Seria Fourier în formă complexă

Se ajunge la concluzia că un sinusoid poate fi scris ca un phasor și, astfel, este mai ușor să se ocupe de o serie Fourier. Comparați-l cu forma sinusoidală. Toate grijile la₀, la_n și b_n Au fost eliminate. Există un singur factor la_k care trebuie calculată. Acest lucru se face prin calcularea unui integral integrat f ( t) care oferă toți coeficienții în același timp.

Interpretați extinderea pentru f ( t). Ce nu este cunoscut în această extindere?

Trebuie să calculați un număr infinit de factori la_k.

Toți factorii la_k poate fi ușor de calculat de la integrarea f ( t) pentru a da ca rezultat întregul lor set.

În loc de expresie "set", notația {a_k }.

{a_k } este cunoscut ca spectrul de f ( t).

f ( t) este de fapt sinteza unui număr infinit de fazori de diferite lungimi care se rotesc cu frecvențe care sunt în armonie cu frecvența de bază ω₀ de f ( t) în ambele direcții, în sensul acelor de ceasornic și în sens antiorar, deoarece k rătăcesc între numere întregi negative și pozitive.

Uită-te la pereche de formule ca o transformare în loc de expansiune a unei serii. Când ai f ( t), atunci tu ai la_k. Și, invers, când ai la_k, veți obține f ( t). Valorile lui la_k sunt transformate f ( t). Valoarea lui f ( t) este transformarea inversă a lui la_k. Acest lucru este scris ca:

WikiHowFou06-1.jpg" class ="imagine lightbox" title ="Fourier Pair">

WikiHowFou08-3.jpg" class ="imagine lightbox" title ="nota">

Atentie: se pare că există două domenii. f ( t) este în domeniul timpului, dar factorii la_k ele sunt în domeniul numerelor întregi. Prin urmare, extinderea Fourier transformă un domeniu în altul și invers.

Din acest motiv, se spune că aceasta este o transformare "continuu în timp".

Oamenii care studiaza undele folosesc un osciloscop pentru a observa undele continue in timp si folosesc un analizor de spectru pentru a observa liniile sau spectrele undei respective.

WikiHowFou09-1.jpg" class ="imagine lightbox">

Consultați exemplul cel mai frecvent. Aceasta este o orbire dreptunghiulară care se deschide și se închide în mod regulat. Sau poate fi un ceas, plasând în mod regulat o ștampilă de timp pentru un eveniment. Este un tren de impulsuri cu durată fixă.

Acesta este cel mai simplu exemplu care se poate calcula folosind cunoștințe de calcul secundar, deoarece, f ( t) este egal cu unul pentru o parte și egal cu zero pentru alte părți și trebuie să calculați integralul unei funcții exponențiale care este egală cu ea însăși independent de coeficient. La acest nivel, sunteți familiarizați cu conversia unei funcții exponențiale complexe într-un sinusoid. Ce ramane este ceea ce este o functie sinc. pur și simplu sincronizați ( x) = fără ( x) / x. Acest lucru modifică scala unei funcții sinusoidale până când atinge unghiul său, similar cu un procentaj.

WikiHowFou10.jpg" class ="imagine lightbox">

Funcția de sincronizare este curba

Desenați curba |lak | să aprecieze salturile lor agonizante.

fiecare "lob" Funcția de sincronizare este umplută cu un anumit număr de linii de spectru.

Faceți fiecare impuls al "tren" să fie mai restrânsă numărul de linii din spectru și să pară mai dens și pare să fie de fapt o funcție de sincronizare continuă și să nu mai fie una discretă.

Rețineți că acum observați extinderea seriei Fourier a unei funcții periodice ca transformare în două domenii. Ceea ce rămâne de observat este ceea ce este transformarea unei funcții neperiodice.

WikiHowFou11.jpg" class ="imagine lightbox" title ="Seria Fourier în formă complexă">

Ratifli-væ încrederea dumneavoastræ cæ extinderea unei funcflii neperiodice va fi mai degrabæ sub forma unei integræfli øi nu a unei sume.

Ai dreptate că asta e Integrală Fourier în contrast cu Seria Fourier.

De aceea, transformarea Fourier pentru funcții continue în timp poate fi o serie Fourier sau un integral Fourier.

WikiHowFou12.jpg" class ="imagine lightbox">

Luați în considerare un singur impuls dreptunghiular. Puteți vedea acel puls dacă o orbită dreptunghiulară se deschide și se închide o singură dată. Sau dacă un motor pas cu pas pornește și apoi se oprește.

Distribuiți pe rețelele sociale:

înrudit