Cum de a desena manual setul Mandelbrot

Setul Mandelbrot constă din două puncte desenate într-un plan complex pentru a forma o fractal: o formă impresionantă sau o formă în care fiecare parte este o copie miniaturală a unui întreg. Imaginile uimitoare și incredibile ascunse în setul Mandelbrot a fost posibil să se vadă în anii 1500 datorită înțelegerii că Rafael Bombelli a avut numere imaginare, dar nu a fost până Benoit Mandelbrot și alții au început explorarea fractali cu ajutorul calculatoare

conținut

Pași
Sfaturi
Avertismente

care a dezvăluit secretul universului.

Acum că există, puteți să o abordați într-un mod primitiv: manual. Aici este o metodă de a vedea o reprezentare obișnuită a întregului, numai în scopul de a înțelege cum se face, atunci veți obține o apreciere mai profundă a reprezentărilor care se poate face utilizând mai multe software-ul open source disponibile sau puteți vizualiza o CD-ROM și a DVD

pași

Înțelege formula de bază, deseori exprimată ca z = z + c. Pur și simplu înseamnă că pentru fiecare punct din universul Mandelbrot pe care doriți să îl vedeți, calculul z până când apar una sau două condiții - apoi culoarea pentru a afișa numărul de calcule efectuate. Nu vă faceți griji! Acest lucru cu următorii pași va fi mai ușor de înțeles.

Aveți 3 creioane sau creioane de diferite culori sau markerii cu vârful de pâslă, plus a creion sau creionul creion neagră pentru a face marginea. Motivul pentru care sunt necesare trei culori este că prima aproximare va fi făcută cu nu mai mult de 3 iterații (treceri sau, cu alte cuvinte, se aplică formula de până la 3 ori pe punct):

Cu a marcator negru, trageți atrage o placă trei la rând, 3 câte 3 pătrate pe o bucată de hârtie hârtie.

Marcați (și în negru) pătratul mijlocului (0, 0). Aceasta este valoarea constantei (c) de la punctul din centrul exact al pătratului. Acum fiecare pătrat este de 2 unități lățime. Deci, adăugați sau scădeți 2 la valorile lui x y și a fiecărui pătrat, cu x fiind primul număr e și fiind al doilea număr. Când ați terminat, acest lucru va fi așa cum se arată în imagine, în timp ce urmați celulele să traverseze valorile Y (al doilea număr) trebuie să fie egală, pe măsură ce urmați celulele de mai jos, valorile lui X (primul număr) Ar trebui să fie la fel.

Calculați prima trecere sau iterarea formulei. Pe măsură ce sunteți computerul (într-adevăr sunteți, semnificația originală a cuvântului a fost "persoană care calculează") Puteți face acest lucru de unul singur. Începeți cu următoarele presupuneri:

Valoarea inițială a fiecărui pătrat este (0, 0). Atunci când valoarea absolută a z, pentru un anumit punct, este mai mare sau egală cu 2, acel punct (și pătratul său corespunzător) se spune că are a scăpat din setul Mandelbrot. Când se întâmplă, colorați pătratul în funcție de numărul de iterații ale formulei aplicate la acel punct.

Alegeți culorile pe care le veți folosi pentru etapele 1, 2 și 3. Veți folosi culoarea roșie, verde și respectiv albastru pentru scopurile acestui articol.

Calculați valoarea z pentru colțul din stânga sus al plăcii trei în linie, presupunând o valoare inițială z de 0 + 0i sau (0, 0) (consultați Sfaturile pentru a înțelege mai bine aceste reprezentări). Folosim formula z = z + c așa cum este descris în prima etapă. Veți vedea rapid, în acest caz, z + c este simplu c, deoarece pătratul zero este zero. Și ce este c pentru acest pătrat? (-2, 2).

Determinați valoarea absolută a acestui punct - valoarea absolută a unui număr complex (a, b) este rădăcina pătrată a + b. Acum, comparativ cu o valoare cunoscută: 2, putem evita luarea rădăcinilor pătrate prin compararea lui + b cu 2, despre care se știe că este egal cu 4. În acest calcul, a = -2 și b = 2.

([-2] + 2) =

(4 + 4) =

8 este mult mai mare decât 4.

Ați scăpat din setul Mandelbrot după primul calcul, deci valoarea absolută este mai mare decât 2. Culoarea cu stiloul pe care l-ați ales pentru pasul 1.

Mandelbrot_set_419.jpg" class ="imagine lightbox"> Imaginea intitulată Mandelbrot_set_419

Faceți același lucru pentru fiecare pătrat de pe tablă, cu excepția pătratului central, care nu va scăpa din setul Mandelbrot pentru a treia etapă (și nici nu va scăpa vreodată). Deci, trebuie doar să utilizați culoarea de la pasul 1 pentru toate pătratele exterioare și culoarea de la pasul 3 pentru pătratul mijlociu.

Desenați un pătrat de trei ori mai mare, 9 pentru 9, dar păstrează încă maximum 3 iterații.

Începeți cu a treia linie sau rând în jos, deoarece aici devine interesant.

Primul element, (-2, 1) este mai mare de 2 (deoarece (-2) + 1 se dovedește a fi 5), astfel că este colorat roșu, deoarece acesta scapă din setul Mandelbrot din prima trecere.

Al doilea element, (-1,5, 1) nu este mai mare decât 2. Se aplica formula pentru valoarea absolută, x + y, cu x = -1.5 și y = 1:

(-1,5) = 2,25

1 = 1

2.25 + 1 = 3.25, mai puțin de 4, deci rădăcina pătrată este mai mică de 2.

Deci, continuați cu al doilea pas, calculați z + c utilizând comanda rapidă (x-y, 2xy) pentru z (vedeți Sfaturi despre cum se obține această scurtătură), continuați cu x = -1,5 și y = 1:

(-1,5) - 1 rândul său, 2,25 - 1, care este 1.25-

2xy, deoarece x este -1,5 e și y este 1, devine 2 (-1,5), care produce -3.0-

Aceasta vă va da un z de (1,25, -3)

Acum adăugați c pentru această celulă (adăugați x la x, y până la y) rezultând (-0,25, -2)

Testați dacă valoarea absolută este acum mai mare de 2: calculați x + y:

(-25) = 0,0625

-2 = 4

0.0625 + 4 = 4.0625, rădăcina pătrată este mai mare de 2, deoarece această valoare scapă după a doua iterație: este prima verde!

După cum vă cunoașteți deja calculele, puteți spune uneori care dintre ele scapă de setul Mandelbrot doar dacă vă uitați la numere. În acest exemplu, componenta si are o magnitudine de 2, prin Cuadratura și adăugarea valorii alt număr mare pătrat, va fi mai mare decât 4. Orice număr mai mare de 4 va avea o mai mare rădăcină pătrată a Consiliului 2. A se vedea mai jos pentru o explicație mai detaliată.

Al treilea element cu o valoare de c (-1, 1) nu rupe prima trecere: deoarece ambele 1 și -1 pentru a obține rădăcină pătrată este 1, x + y este 2 z + c apoi calculată, utilizând comanda rapidă (xy , 2 xi) pentru z:

(-1) -1 devine 1-1, care este 0-

2xy este apoi 2 (-1) = -2-

z = (0, -2)

Adăugarea c dă (0, -2) + (-1, 1) = (-1, -1)

Aceasta rămâne aceeași valoare absolută ca înainte (rădăcina pătrată a două, aproximativ 1,41) - continuând cu a treia iterație:

([-1]) - ([- 1]) devine 1-1, care este 0 (încă o dată) ...

Dar acum 2xy este 2 (-1) (-1), 2 este pozitiv, rezultând o valoare z (0, 2)

Adăugând c obținem (0, 2) + (-1, 1) = (-1, 3), care are un a + b de 10, mult mai mare decât 4.

Prin urmare, și el scapă. Colorați celula cu a treia culoare și continuați cu următoarea, deoarece toate cele trei iterații au fost finalizate în acest moment.

Motivul utilizării numai a trei culori devine aparent o problemă aici, deoarece ceva care scapă după doar trei iterații este colorat același (0, 0) că nu scăpați niciodată - evident că nu veți vedea nimic asemănător "eroare" din Mandelbrot la acest nivel de detaliu.

Continuați să calculați fiecare celulă până când scăpați sau ați atins numărul maxim de iterații (numărul de culori pe care îl utilizați: 3 în acest exemplu), la momentul colorării. Așa cum matricea de la 9 la 9 păstrează 3 iterații în fiecare patrat ... Se pare că este corect!

Iterați aceeași matrice din nou cu mai multe culori (iterații) pentru a arăta următoarele straturi sau, mai bine, a extrage o matrice mult mai mare pentru un proiect de durată mai lungă. Obțineți imagini mai exacte prin:

Mandelgen_81_81_0_0_1_rgb_fast_533.jpg" class ="imagine lightbox">

Imaginea intitulată Mandelgen_81_81_0_0_1_rgb_fast_533

Creșteți numărul de celule, aveți 81 pe fiecare parte. Consultați asemănarea matricei 9 de 9 de mai sus, dar marginile mult mai moi în cerc și oval.

Mandelgen_81_81_0_0_1_rgb2black_fast_797.jpg" class ="imagine lightbox">

Imaginea intitulată Mandelgen_81_81_0_0_1_rgb2black_fast_797

Creșteți numărul de culori (iterații) - aveți 256 de nuanțe de roșu, verde și albastru pentru un total de 768 de culori față de 3. Acum puteți vedea marginea binecunoscutului "lac " din Mandelbrot (sau "eroare " în funcție de modul în care căutați acest lucru). Partea inferioară reprezintă perioada de timp necesară, dacă puteți calcula fiecare iterație în 0 secunde, ceea ce înseamnă aproximativ 2 ore pe celulă sau lângă Lacul Mandelbrot. Deși este o parte relativ mică din matricea de 81 la 81, ar dura încă un an, probabil, să o completeze, chiar și prin angajarea a mai multe ore de lucru pe zi. Aici este locul unde hard disk-ul computerului este la îndemână.

sfaturi

De ce z = (x-y, 2xy)?

la multiplica două numere complexe precum (a, b) cu (c, d), utilizați următoarea formulă, explicată în acest document Articol din Mathworld: (a, b) (c, d) = (ac - bd, bc + ad)
Rețineți că un număr complex are un rol "real" și a "imaginar", ultimul este un număr real înmulțit cu rădăcina pătrată a negativului de 1, adesea atribuit ca eu. Numărul complex (0, 0), de exemplu, este 0 + 0i și (-1, -1) este (-1) + (-1 * i).
Ești încă acolo? Ține minte asta la și c ele sunt termeni real, și b și d termeni imaginar. Deci, dacă termenii imaginari se înmulțesc împreună, rădăcina pătrată a unui negativ înmulțită de ea însăși va fi una negativă, rezultând rezultatul negativ și transformându-l în reale - în timp ce numerele anunț și bc ele continuă să fie imaginare, deoarece rădăcina pătrată a negativului 1 este încă un termen al acelui produs. Prin urmare, ne-am propus ca parte real și bc + ad ca parte imaginar.
Acum, din moment ce obținem rădăcina pătrată a numerelor în loc să multiplicăm două numere diferite, acest lucru poate fi simplificat un pic - din moment ce a = c, și b = d, avem produsul ca (a-b, 2ab). Și "plan complex" la "planul cartezian" cu axa x care reprezintă numărul real și axa și care reprezintă numărul imaginar, se mai numește și(x-y, 2xi).

Dacă compilați o celulă din nou și din nou și înțelegeți că este un rezultat exact ca cel pe care l-ați obținut pentru acea celulă, veți realiza că sunteți prins într-o lasso nesfârșit - acele celule nu vor scăpa niciodată. Deci puteți să faceți o comandă rapidă, să culori celula cu culoarea finală și să treceți la cea viitoare, (0,0) este evident una dintre acele celule.

Vreți să aflați mai multe despre estimarea valorii absolute a unui număr complex fără a face numeroase calcule?

Valoarea absolută a unui număr complex (a, b) este rădăcina pătrată a + b, egală cu formula lui drept triunghi, deoarece la și b ele sunt reprezentate în unghi drept unul altuia pe grila carteziană (respectiv coordonatele x și y). Prin urmare, deoarece se știe că mulțimea de Mandelbrot este legată de valoarea lui 2 și că cele două pătraturi este de 4, este posibil să se evite gândirea rădăcinilor pătrate doar observând dacă x + y >= 4

Dacă vreunul dintre vârfurile lui triunghi drept are o lungime >= 2, atunci ipotenuzei (partea diagonală) trebuie să fie, de asemenea, mai mult decât 2. Dacă vedeți nu este, atrage un triunghi dreptunghic într-o grilă cartezian și va fi evident, sau despre acest: 2 = 4 și se adaugă un alt număr pozitiv (și Cuadratura un număr negativ va fi întotdeauna pozitiv) nu poate fi nimic mai puțin de 4. Prin urmare, dacă orice componentă x sau y a unui număr complex are o magnitudine de 2 sau mai mult, valoarea absolută a numărului este mai mare sau egală cu două, atunci a scăpat din setul Mandelbrot.

Pentru a calcula "lățimea virtuală" din fiecare celulă divide "diametrul virtual" în interiorul "numărul de celule mai mici decât unul". Un diametru virtual de 4 a fost folosit în exemplele anterioare, deoarece vrem să arătăm totul în raza de 2 (setul Mandelbrto este legat de valoarea 2). Pentru aproximarea celor 3 fețe / laturi, unde 4 / (3-1), ce este 4/2, rezultat 2. Pentru pătratul celor 9 laturi este 4 / (9-1), ce este 4/8, rezultat 0.5. Utilizați aceeași dimensiune a celulei virtuale atât pentru înălțime cât și pentru lățime, chiar dacă faceți o parte mai lungă decât cealaltă, altfel va fi distorsionată.

avertismente

Matematica poate fi addictivă, ca și alte lucruri, dar este sigur că acestea nu vor provoca vătămări sau nu cauzează cancer pulmonar.

Distribuiți pe rețelele sociale:

înrudit