Cum se calculează viteza instantanee

Viteza este definită ca viteza unui obiect într-o anumită direcție. În multe situații obișnuite, pentru a găsi viteza trebuie să folosim ecuația v = s / t, unde "v" este viteza, "s" este deplasarea din poziția inițială a obiectului și "t" este egală cu timpul scurs. Cu toate acestea, din punct de vedere tehnic, aceasta oferă doar viteza Media obiectului în timpul deplasării. Prin calcul, este posibilă determinarea vitezei unui obiect în orice moment în timpul deplasării. Acest lucru este cunoscut sub numele de

conținut

Pași
Partea 1calculați viteza instantanee
Partea 2estimați viteza instantanee cu un grafic
Partea 3exemple
Sfaturi

viteza instantanee și este definită cu ecuația v = (ds) / (dt) sau, cu alte cuvinte, derivatul ecuației vitezei medii a obiectului.

pași

Partea 1
Calculați viteza instantanee

Imaginea intitulată Calculați viteza instantanee Pasul 1

Începeți cu o ecuație de viteză în ceea ce privește deplasarea. Pentru a găsi viteza instantanee a unui obiect, trebuie să avem mai întâi o ecuație care ne spune poziția sa (în termeni de deplasare) la un moment dat. Aceasta înseamnă că ecuația trebuie să aibă variabila s pe o parte izolată și T în celălalt (nu neapărat izolat), în felul acesta:

s = -1,5t + 10t + 4

În această ecuație, variabilele sunt:
Deplasare = s . Distanța pe care obiectul a parcurs-o de la poziția sa inițială. De exemplu, dacă un obiect se deplasează 10 metri în față și 7 metri în spate, deplasarea totală este de 10 - 7 = 3 metri (nu 10 + 7 = 17 metri).
Timpul = t . Nu trebuie explicat. De obicei, acesta este măsurat în câteva secunde.

Imaginea intitulată Calculați viteza instantanee Pasul 2

Luați derivatul ecuației. derivat a unei ecuații este doar o ecuație diferită care vă spune pantă în orice moment dat. Pentru a găsi derivatul formulei de deplasare, diferențiați funcția cu această regulă generală pentru a găsi derivatele: Dacă y = a * x, derivatul = a * n * x. Această regulă se aplică tuturor termenilor de pe partea "t" a ecuației.

Cu alte cuvinte, începeți pe partea "t" a ecuației, de la stânga la dreapta. De fiecare dată când ajungeți la un "t", scădeți 1 de exponent și înmulțiți întregul termen cu exponentul original. Toți termenii constanți (termeni care nu conțin „t“) dispar deoarece înmulțit cu 0. De fapt, acest proces nu este la fel de dificil ca parece- obținem ecuația în etapa anterioară cu titlu de exemplu:

s = -1,5t + 10t + 4
(2) -1,5t + (1) 10t + (0) 4t
-3t + 10t
-3t + 10

Imaginea intitulată Calculați viteza instantanee Pasul 3

Înlocuiți "s" cu "ds / dt". Pentru a demonstra că noua noastră ecuație este derivată din prima, vom înlocui "s" cu notația "ds / dt". Din punct de vedere tehnic, această notație înseamnă "derivatul s în ceea ce privește" t ". O modalitate mai simplă de a ne gândi la acest lucru este să considerăm pur și simplu că ds / dt este panta oricărui punct dat în prima ecuație. De exemplu, pentru a găsi panta liniei făcute de s = -1.5t + 10t + 4 la t = 5, va da pur și simplu o valoare de „5“ la „t“ în derivatul său.

În exemplul nostru curent, ecuația noastră finală ar trebui să arate astfel:

ds / dt = -3t + 10

Imaginea intitulată Calculați viteza instantanee Pasul 4

Dați o valoare "t" pentru noua ecuație pentru a găsi viteza instantanee. Acum, dacă aveți ecuația derivată, găsirea vitezei instantanee în orice moment va fi ușoară. Tot ce trebuie să faceți este să alegeți o valoare pentru "t" și să o înlocuiți în ecuația derivată. De exemplu, dacă vrem să găsim viteza instantanee la t = 5, pur și simplu vom înlocui "5" cu "t" în derivatul ds / dt = -3 + 10. Apoi vom rezolva ecuația în felul următor:

ds / dt = -3t + 10
ds / dt = -3 (5) + 10
ds / dt = -15 + 10 = -5 metri pe secundă

Rețineți că în schemă folosim eticheta "metri pe secundă". Deoarece avem de-a face cu deplasarea în termeni de metri și cu timpul în termeni de secunde și viteza în general este pur și simplu deplasare în timp, această etichetă este adecvată.

Partea 2
Estimați viteza instantanee cu un grafic

Imaginea intitulată Calculați viteza instantanee Pasul 5

Graficează deplasarea obiectului în timp. În secțiunea anterioară, am menționat că derivatele sunt pur și simplu formule care ne permit să găsim pantă în orice punct pentru ecuația pentru care ați luat derivatul. De fapt, dacă reprezentați deplasarea unui obiect cu o linie într-un grafic, panta liniei respective în orice punct dat va fi egală cu viteza instantanee a obiectului în acel punct.
Pentru a arăta deplasarea unui obiect, utilizați axa "x" pentru a reprezenta ora și axa "y" pentru a reprezenta această deplasare. apoi, urmăriți punctele Când dați valori "t" în ecuația de deplasare, obțineți valorile lui "s" pentru răspunsurile dvs. și marcați punctele t, s (x, y) din grafic.
Rețineți că graficul se poate extinde sub axa "x". Dacă linia reprezentând mișcarea obiectului cade sub axa "x", va reprezenta mișcarea obiectului sub punctul său de origine. În general, graficul nu se va extinde sub axa "y", deci nu întotdeauna măsuram viteza pentru obiectele care se mișcă înapoi în timp!

Imaginea intitulată Calculați viteza instantanee Pasul 6

Alegeți un punct P și un punct Q care se află aproape de panta de pe linie. Pentru a găsi panta unei linii la un singur punct P, am folosit un truc numit "take a limit". Aceasta implică luarea a două puncte (P plus Q, un punct în apropierea acestuia) pe linia curbă și găsirea pantei liniei care le leagă din nou și din nou, deoarece distanța dintre P și Q devine mai scurtă.

Să presupunem că linia noastră de deplasare conține puncte (1,3) și (4,7). În acest caz, dacă vrem să găsim pantă în (1,3), putem stabili acest lucru (1,3) = P și (4.7) = Q.

Imaginea intitulată Calculați viteza instantanee Pasul 7

Găsiți pantă între P și Q. Panta dintre P și Q este diferența dintre valorile "y" pentru P și Q peste diferența dintre valorile lui "x" pentru P și Q. Cu alte cuvinte, H = (și_Q - și_P) / (x_Q - x_P), unde H este panta dintre cele două puncte. În exemplul nostru, panta dintre P și Q este:

H = (și_Q - și_P) / (x_Q - x_P)
H = (7 - 3) / (4 - 1)
H = (4) / (3) = 1,33

Imaginea intitulată Calculați viteza instantanee Pasul 8

Repetați acest pas de mai multe ori, deplasând Q mai aproape și mai aproape de P. Obiectivul dvs. este să faceți distanța dintre P și Q mai mică și mai mică până când vă apropiați de un singur punct. Cu cât distanța dintre P și Q este mai mică, cu atât mai aproape va fi panta segmentelor liniei mici până la pantă în punctul P. Să facem acest lucru de câteva ori pentru ecuația noastră, folosind punctele (2,4,8), (1,5,3,95 ) și (1.25.3.49) pentru Q și punctul nostru inițial de (1,3) pentru P:

Q = (2,4,8): H = (4,8-3) / (2-1)
H = (1,8) / (1) = 1.8

Q = (1,5,3,95): H = (3,95-3) / (1,5-1)
H = (.95) / (.5) = 1.9

Q = (1,25,3,49): H = (3,49-3) / (1,25-1)
H = (0,49) / (.25) = 1,96

Imaginea intitulată Calculați viteza instantanee Pasul 9

Estimați panta pentru un interval infinit de mic pe linie. Pe măsură ce Q se apropie mai mult de P, H se va apropia și mai aproape de pantă la punctul P. Pe termen lung, la un interval infinit de mic, H va fi egal cu pantă la P. Pentru că nu putem Pentru a măsura sau a calcula un interval infinit de mic, estimăm doar panta la P odată ce nu este prezentă punctele pe care le-am testat.

În exemplul nostru, pe măsură ce abordăm Q la P, obținem valorile de 1,8, 1,9 și 1,96 pentru H. Deoarece aceste numere par să se apropie de 2, putem spune că 2 este o estimare bună pentru pantă în P.

Amintiți-vă că panta la un punct dat al unei linii este egală cu derivatul ecuației liniei din acel moment. Deoarece linia noastră arată mișcarea obiectului în timp și, așa cum am văzut în secțiunea anterioară, viteza instantanee a unui obiect este derivata de deplasare la un anumit punct, putem spune că 2 metri pe secundă este o estimare bună pentru viteza instantanee la t = 1.

Partea 3
Exemple

Găsiți viteza instantanee la t = 4 deoarece ecuația de deplasare s = 5t - 3t + 2t + 9. Acest lucru este similar cu exemplul nostru, în prima secțiune, cu excepția faptului că avem de a face cu o ecuație cubică în loc de o ecuație de gradul doi, astfel încât să putem rezolva în același mod.

În primul rând, vom lua derivatul ecuației noastre:
s = 5t - 3t + 2t + 9
s = (3) 5t - (2) 3t + (1) 2t
15t - 6t + 2t - 6t + 2
Apoi, vom da valoarea t (4):
s = 15t - 6t + 2
15 (4) - 6 (4) + 2
15 (16) - 6 (4) + 2
240 - 24 + 2 = 22 de metri pe secundă

Utilizați o estimare grafică pentru a găsi viteza instantanee în (1,3) pentru ecuația de deplasare s = 4t - t. Pentru această problemă, vom folosi (1.3) ca punct P noastre, dar trebuie să găsim alte locuri din apropiere pentru a utiliza ca puncte de nostru Q. Deci, e doar o chestiune de a găsi valorile pentru H și estimare.

În primul rând, să găsim punctele lui Q la t = 2, 1,5, 1,1 și în 1,01.

s = 4t - t

t = 2: s = 4 (2) - (2)
4 (4) - 2 = 16 - 2 = 14, atunci Q = (2,14)

t = 1,5: s = 4 (1,5) - (1,5)
4 (2.25) - 1.5 = 9 - 1.5 = 7.5, atunci Q = (1.5.7.5)

t = 1,1: s = 4 (1,1) - (1,1)
4 (1,21) - 1,1 = 4,84 - 1,1 = 3,74, atunci Q = (1,1,3,74)

t = 1,01: s = 4 (1,01) - (1,01)
4 (1.0201) - 1.01 = 4.0804 - 1.01 = 3.0704, atunci Q = (1.01.3.0704)

Apoi, găsiți valorile lui H:

Q = (2,14): H = (14-3) / (2-1)
H = (11) / (1) = 11

Q = (1.5.7.5): H = (7,5-3) / (1,5-1)
H = (4.5) / (.5) = 9

Q = (1,1,3,74): H = (3,74-3) / (1,1-1)
H = (.74) / (.1) = 7.3

Q = (1,01,3,0704): H = (3,0704-3) / (1,01-1)
H = (.0704) / (. 01) = 7.04

Deoarece valorile lui H par să fie aproape de 7, putem spune asta 7 metri pe secundă este o estimare bună pentru viteza instantanee în (1,3).

sfaturi

Pentru a găsi accelerația (schimbarea vitezei în timp), folosind metoda de prima parte pentru a obține o ecuație derivată pentru funcția de derulare. Apoi, luați un alt derivat, dar de data aceasta, una dintre ecuațiile derivate. Acest lucru vă va oferi o ecuație în care trebuie să găsiți accelerația la un moment dat. Tot ce trebuie să faceți este să îi acordați valoare pentru timp.
Ecuația referitoare Y (deplasare) X (timp) ar putea fi destul de simplu, de exemplu, Y = 6X + 3. În acest caz, panta este constantă și nu are nevoie să găsească găsi un derivat, care este de 6, conform Y = mx + b un model de bază pentru graficele liniare.
Decalajul este distanta, dar are o direcție stabilită, făcându-l într-un vector și viteza la scară. Deplasarea poate fi negativă, în timp ce distanța va fi întotdeauna pozitivă.

Distribuiți pe rețelele sociale:

înrudit