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Cómo encontrar el máximo común divisor de dos números enteros

El máximo común divisor (MCD) de dos números enteros es el número entero más grande que es un divisor (factor) de ambos. Por ejemplo, el número más largo que divide al 20 y al 16 es el 4. En la escuela, se enseña comúnmente el método de “adivina y revisa”. En lugar de eso, este es una simple y sistemática forma de hacer esto y siempre encontrar la respuesta correcta. Este método se llama “algoritmo de Euclides”. Llamemos a los dos números “a” y “b”.

Pasos

Método 1

Imagen titulada Find the Greatest Common Divisor of Two Integers Step 1
1
Deshazte de los números negativos.
  • Imagen titulada Find the Greatest Common Divisor of Two Integers Step 2
    2
    Aprende tu vocabulario: cuando divides 32 entre 5,
  • 32 es el dividendo
  • 5 es el divisor
  • 6 es el cociente
  • 2 es el residuo.
  • Imagen titulada Find the Greatest Common Divisor of Two Integers Step 3
    3
    Identifica el número más grande de los dos. Ese será el dividendo, y el más pequeño el divisor.
  • Imagen titulada Find the Greatest Common Divisor of Two Integers Step 4
    4
    Escribe este algoritmo: (dividendo) = (divisor) * (cociente) + (residuo)
  • Imagen titulada Find the Greatest Common Divisor of Two Integers Step 5
    5
    Pon el número más grande en el lugar del dividendo, y el número más pequeño como el divisor.
  • Imagen titulada Find the Greatest Common Divisor of Two Integers Step 6
    6
    Decide cuantas veces el número pequeño cabe en el número grande, y pon ese algoritmo como el cociente.
  • Imagen titulada Find the Greatest Common Divisor of Two Integers Step 7
    7
    Calcula el residuo, sustitúyelo en el lugar apropiado en el algoritmo.
  • Imagen titulada Find the Greatest Common Divisor of Two Integers Step 8
    8
    Escribe el algoritmo de nuevo, pero ahora A) úsa el divisor anterior como el dividendo y B) usa el residuo como el nuevo divisor.
  • Imagen titulada Find the Greatest Common Divisor of Two Integers Step 9
    9
    Repite los pasos hasta que el residuo sea cero.


  • Imagen titulada Find the Greatest Common Divisor of Two Integers Step 10
    10
    El ultimo divisor es máximo común divisor.
  • Imagen titulada Find the Greatest Common Divisor of Two Integers Step 11
    11
    Aquí hay un ejemplo, donde estamos tratando de encontrar el máximo común divisor de 108 y 30:
  • Imagen titulada Find the Greatest Common Divisor of Two Integers Step 12
    12
    Nota como el 30 y el 18 cambian de posición en la segunda línea. Luego, el 18 y el 12 en la tercera línea, y el 12 y el 6 en la cuarta línea. El 3, 1, 1, y 2 que siguen después del símbolo de multiplicación no reaparecen. Representan cuantas veces el divisor cabe en el dividendo, así que son únicos en cada línea.

    • Método 2

    Imagen titulada Find the Greatest Common Divisor of Two Integers Step 13
    1
    Elimina cualquier signo negativo.
  • Imagen titulada Find the Greatest Common Divisor of Two Integers Step 14
    2
    Encuentra los factores primos de los números, y en lístalos como se muestra a continuación.
  • Usando 24 y 18 como ejemplo:
  • 24- 2 x 2 x 2 x 3
  • 18- 2 x 3 x 3
  • Usando 50 y 35 como ejemplo:
  • 50- 2 x 5 x 5
  • 35- 5 x 7
  • Imagen titulada Find the Greatest Common Divisor of Two Integers Step 15
    3
    Identifica todos los factores primos comunes.
  • Usando 24 y 18 como ejemplo:
  • 24- 2 x 2 x 2 x 3
  • 18- 2 x 3 x 3
  • Usando 50 y 35 como ejemplo:
  • 50- 2 x 5 x 5
  • 35- 5 x 7
  • 4
    Multiplica los factores comunes juntos.
  • En el caso de 24 y 18, multiplica el 2 y 3 para obtener 6. El 6 es máximo común divisor de 24 y 18.
  • En el caso de 50 y 35, no hay nada que multiplicar. 5 es el único factor común, y por lo tanto es el más grande.
  • Imagen titulada Find the Greatest Common Divisor of Two Integers Intro
    5
    Terminado.

    • Consejos

    • Una forma de escribir esto, usando la notación mod = el residuo es ese MCD(a,b) = b si a mod b = 0, y MCD(a,b) = GCD(b, a mod b) de otra manera.
    • Como, encontremos el MCD (-77,91).Primero usemos 77 en lugar de -77, so MCD(-77,91) se convierte en MCD(77,91). Ahora, 77 es menos que 91, así que hay que cambiarlo, Pero veamos cómo se encarga de eso el algoritmo si no lo hacemos. Cuando calculamos 77 y 91, obtenemos 77 (ya que 77 = 91 x 0 + 77). Ya que eso no es un cero, cambiamos (a, b) por (b, a mod b) y eso nos da: MCD(77,91) = MCD(91,77). 91 mod 77 da 14 (recuerda, eso significa que 14 es el residuo). Ya que no es cero, cambiamos MCD(91,77) por MCD(77,14). 77 mod 14 da 7 lo cual no es cero, así que cambiamos MCD(77,14) por MCD(14,7). 14 mod 7 es cero, ya que 14 = 7 * 2 sin residuo, así que paramos. Y eso significa que: MCD(-77,91) = 7.
    • Esta técnica es muy útil cuando quieres simplificar fracciones. Por el ejemplo anterior, la fracción -77/91 se reduce a -11/13 porque 7 es el MCD de -77 y 91.
    • Si `a` y `b` son ambos cero, entonces cualquier número que no sea cero los divide a ambos, así que técnicamente no hay ningún MCD en este caso. Los matemáticos a menudo dicen que el MCD de 0 y 0 es 0, y esa es la respuesta que este método obtiene.
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