Cómo invertir una matriz de 3X3

Las funciones inversas suelen usarse en álgebra para simplificar operaciones más difíciles. Por ejemplo, si necesitas dividir entre una fracción, te será más fácil multiplicar por su inverso multiplicativo, el cual es el recíproco de esa fracción. De forma similar, si trabajas con matrices, debido a que estas no pueden dividirse, debes multiplicarlas por su inversa. En el caso de una matriz de 3 x 3, encontrar la inversa a mano puede ser tedioso pero es un procedimiento que vale la pena repasar. Otra forma fácil de encontrar la función inversa de una matriz es por medio de una calculadora gráfica.

Pasos

2

Traspón la matriz original. Esto quiere decir crear una matriz refleja invirtiendo la original sobre la diagonal principal o intercambiando los elementos "(i,j)th" y "(j,i)th". Trasponer una matriz debe producir otra matriz que tenga la misma diagonal principal que la original (es decir, debe tener los mismos términos en la diagonal que se extiende de la esquina superior izquierda hasta la esquina inferior derecha).

3

Calcula el determinante de cada una de las matrices más pequeñas de 2 x 2 que pueden obtenerse de la matriz traspuesta. Cada uno de los términos de la matriz de 3 x 3 que acabas de trasponer tiene una matriz de 2 x 2 correspondiente. Para encontrar la matriz de 2 x 2 que corresponda a cada término, resalta la fila y la columna en donde se encuentre el término en cuestión, asegurándote de resaltar cinco términos en total. Los cuatro términos no resaltados de la matriz conformarán la matriz de 2 x 2 que corresponde con el término cuya fila y columna hayas resaltado.

4

Crea la matriz de cofactores. Usa los resultados de los pasos anteriores para crear una matriz de cofactores nueva. Hazlo alineando el determinante de cada una de las matrices de 2 x 2 con su posición correspondiente en la matriz original. Por ejemplo, el determinante que calculaste para el término (1,1) de la matriz original debe ir en la posición (1,1) en la matriz de cofactores. Luego, cambia alternativamente el signo de los términos de esta matriz nueva según el patrón de "ajedrezado" que se muestra en la imagen anterior.

5

Divide cada uno de los términos de la matriz de cofactores entre el determinante. En el primer paso de esta sección, calculaste el determinante de la matriz M para saber si esta tenía una función inversa. Ahora, debes dividir cada uno de los términos de la matriz de cofactores entre este número. Dispón los resultados que obtengas en el mismo lugar que sus términos correspondientes en la matriz original para obtener la inversa de esta matriz.

2

Realiza operaciones de reducción lineal. Debes escribir una matriz identidad a la izquierda de la matriz que hayas creado juntando la matriz original M y la matriz identidad. Cada vez que hagas una reducción lineal a la izquierda, debes realizar la misma operación a la derecha, la cual era originalmente la matriz identidad.

3

Continúa de esta forma hasta obtener la matriz identidad. Repite las reducciones de filas hasta que la matriz que obtengas del lado izquierdo tenga solo números 1 y 0 en la misma disposición que en la matriz identidad original. Cuando esto ocurra, el lado derecho la línea divisora que hayas dibujado será la inversa de la matriz original.

4

Escribe la matriz inversa. Transcribe los elementos que vayas obteniendo del lado derecho de la línea divisora. Estos conformarán la inversa de la matriz original.

2

Ingresa la matriz en la calculadora. Para ello, presiona el botón para entrar en la función de matrices de la calculadora, si la hay. Si vas a trabajar con una calculadora de Texas Instruments, lo más probable es que debas presionar el botón "2 Matrix" ("segunda matriz" en inglés).

3

Elige el submenú "Edit" ("Edición" en inglés). Para llegar allí, dependiendo de la disposición de tu calculadora, debes usar las flechas o presionar la tecla para la función adecuada en la parte superior del teclado.

4

Ponle un nombre a la matriz. Por lo general, las calculadoras pueden trabajar con entre 3 y 10 matrices a la vez, a las cuales se les pueden asignar nombres con las letras de la A a la J. Puedes empezar simplemente con la A y presionar "Enter" ("Entrar" en inglés) para etiquetar a la matriz con esa letra.

5

Ingresa las dimensiones de la matriz. Si bien este artículo solo aborda las matrices de 3 x 3, puedes ingresar matrices más grandes en tu calculadora. Ingresa la cantidad de filas y columnas y presiona "Enter" después de especificar cada número.

6

Ingresa cada término de la matriz. Aparecerá una matriz en la pantalla de la calculadora. Si trabajaste con la función de matrices de la calculadora, en la pantalla aparecerá una matriz con las dimensiones que hayas especificado. El cursor se encontrará sobre el primer término de la matriz. Ingresa el valor que quieras y presiona "Enter" para que el cursor pase automáticamente al siguiente término. Si ya había algún número escrito, podrás borrarlo.

7

Sal de la función de matrices. Cuando hayas ingresado todos los términos de la matriz, presiona la tecla "Quit" ("Salir" en inglés) o "2 Quit" dependiendo de la configuración de tu calculadora para salir de la función de matrices y regresar a la pantalla principal.

8

Para encontrar la matriz inversa, usa la tecla de funciones recíprocas. Para ello, primero debes volver a ingresar a la función de matrices de la calculadora y presionar la tecla de la letra con la que hayas etiquetado a la matriz, la cual probablemente sea la letra A. Luego, presiona la tecla de funciones recíprocas, ${displaystyle x^{-1}}$, para lo cual quizás tengas que presionar primero la tecla "2" según la configuración de tu calculadora. En la pantalla, podrás ver ${displaystyle A^{-1}}$. Luego, presiona "Enter" para obtener la inversa de la matriz.

9

Convierte la matriz inversa en una respuesta exacta. El primer resultado que obtendrás de la calculadora será un número decimal, el cual no se considera una respuesta exacta. Por tanto, debes convertirlo en una fracción (aunque, si tienes suerte, obtendrás resultados que sean números enteros, pero esto no es lo común).