Cum se face diferențierea implicită

În calcul, atunci când aveți o ecuație pentru și scris în termeni de

conținut

Pași
Metoda 1diferențiați rapid ecuațiile simple
Metoda 2utilizați tehnici avansate
Avertismente

x (ca y = x -3x), este ușor de utilizat tehnici de diferențiere de bază (ceea ce matematicienii știu ca tehnici de "diferențiere explicită") pentru a găsi derivatul. Cu toate acestea, în cazul ecuațiilor acestea sunt dificil să se reorganizeze și plasarea pe o parte a semnului egal (ca x + y - 5x + 8y + 2xy = 19), va fi necesară o metodă diferită. Cu ajutorul unei tehnici numită diferențiere implicită, va fi ușor să găsiți derivații ecuațiilor cu mai multe variabile, atâta timp cât deja cunoașteți conceptele de bază ale diferențierea explicită!

pași

Metoda 1
Diferențiați rapid ecuațiile simple

Imaginea intitulată Face diferențierea implicită Pasul 1

Diferă termenii x ca întotdeauna. Atunci când încerci să diferențiezi o ecuație de variabile multiple, cum ar fi x + y - 5x + 8y + 2xy = 19, poate fi dificil să știi de unde să începi. Din fericire, primul pas al diferențierii implicite este cel mai simplu. Pentru a începe, pur și simplu diferențiați termenii cu x și constantele de ambele părți ale ecuației conform regulilor de diferențiere obișnuită (explicită). Pentru moment, ignorați termenii cu și.
Să încercăm să diferențiem ecuația simplă anterioară. Ecuația x + y - 5x + 8y + 2xy = 19 are doi termeni cu
x: x și -5x. Dacă vrem să diferențiem ecuația, va trebui să le rezolvăm mai întâi în felul următor:
x + y - 5x + 8y + 2xy = 19
Aruncați exponentul "2" în x pentru al plasa ca un coeficient, eliminați
x la -5x și modificați de 19 ori 0)
2x + y - 5 + 8y + 2xy = 0

Imaginea intitulată Face diferențierea implicită Pasul 2

Diferă termenii cu și locul "(dy / dx)" lângă fiecare. În pasul următor, pur și simplu diferențiați termenii cu și în același fel ați făcut-o cu termenii lui x. Cu toate acestea, adăugați această dată "(dy / dx)" în dreptul fiecăruia, în același mod, ați adăuga un coeficient. De exemplu, dacă există diferențe y, va deveni 2y (dy / dx). Pentru moment, ignorați termenii care au atât x, cât și y.

În exemplul nostru curent, ecuația va arăta astfel: 2x + y - 5 + 8y + 2xy = 0. Vom face acest pas de diferențiere de la și după cum urmează:

2x + y - 5 + 8y + 2xy = 0

Aruncați exponentul "2" și plasați-l ca un coeficient, eliminați și în 8y și plasați un "dy / dx" lângă fiecare.

2x + 2y (dy / dx) - 5 + 8 (dy / dx) + 2xy = 0

Imaginea intitulată Face diferențierea implicită Pasul 3

Utilizați regula produsului sau regula de coeficient pentru termenii care au atât x, cât și y. Rezolvați termenii care au x și y este a puțin complicat, dar dacă știți regula produsului și coeficientul de diferențiere, nu veți avea nici o problemă. Dacă multiplicați termenii de la x și y, utilizați regula produsului ((f × g) `= f` × g + g × f `), înlocuind termenul x prin f și termen și pentru g. Pe de altă parte, dacă termenii x și y sunt împărțiți între ei, utilizați regula cvasiului ((f / g) `= (g × f` - g `× f) / g), înlocuind termenul în numărător cu f și termenul în numitor cu g.

În exemplul nostru, 2x + 2y (dy / dx) - 5 + 8 (dy / dx) + 2xy = 0, avem doar un termen care are atât x as și, ce este 2xy. având în vedere că x e și se multiplică reciproc, trebuie să utilizăm regula produsului pentru a le diferenția, după cum urmează:
2 x = (2x) (y) - locul 2x = f și y = g în (f × g) `= f` x g + g × f `
(f × g) `= (2x)` × (y) + (2x) × (y) `
(f × g) `= (2) × (y) + (2x) × (2y (dy / dx))
(f × g) `= 2y + 4xy (dy / dx)

Prin adăugarea ei înapoi la ecuația noastră principală, vom obține 2x + 2y (dy / dx) - 5 + 8 (dy / dx) + 2y + 4xy (dy / dx)

Imaginea intitulată Face diferențierea implicită Pasul 4

Izolați (dy / dx). Ești aproape terminat! Acum, tot ce trebuie să faceți este să rezolvați ecuația pentru (dy / dx). Pare dificil, dar, în general, nu se are în vedere faptul că cei doi termeni a și b care sunt înmulțite cu (dy / dx) pot fi scrise ca (a + b) (dy / dx) grcias proprietății distributive a multiplicării. Această tactică se poate face ușor pentru a izola (dy / dx) - plasează doar toți ceilalți termeni pe partea opusă a consolelor și apoi împărțiți termenii din paranteze lângă (dy / dx).

In exemplul nostru, putem simplifica 2x + 2y (dy / dx) - 5 + 8 (dy / dx) + 2y + 4xy (dy / dx) = 0, după cum urmează:

2x + 2y (dy / dx) - 5 + 8 (dy / dx) + 2y + 4xy (dy / dx)

(2y + 8 + 4xy) (dy / dx) + 2x - 5 + 2y = 0

(2y + 8 + 4xy) (dy / dx) = -2y - 2x + 5

(dy / dx) = (-2y - 2x + 5) / (2y + 8 + 4xy)

(dy / dx) = (-2y - 2x + 5) / (2 (2xy + y + 4)

Metoda 2
Utilizați tehnici avansate

Imaginea intitulată Face diferențierea implicită Pasul 5

Conectați valorile (x, y) pentru a găsi (dy / dx) pentru orice punct. Felicitări! Ați diferențiat ecuația implicit, ceea ce nu este o sarcină ușoară pentru începători! Folosind această ecuație pentru a găsi panta (dy / dx) pentru orice punct (x, y) este la fel de simplă ca și conectarea valorilor x e și pentru punctul din partea dreaptă a ecuației și apoi rezolvați (dy / dx).
De exemplu, să presupunem că vrem să găsim pantă în punctul (3, -4) pentru ecuația anterioară. Pentru a face acest lucru, va trebui să înlocuiți 3
x și -4 de către și, rezolvând după cum urmează:
(dy / dx) = (-2y - 2x + 5) / (2 (2xy + y + 4)
(dy / dx) = (-2 (-4) -2 (3) + 5) / (2 (3) (-4) + -4)
(dy / dx) = (-2 (16) - 6 + 5) / (2 (3) (- 4))
(dy / dx) = (-32) - 6 + 5) / (2 (2 (-12))
(dy / dx) = (-33) / (2 (2 (-12))
(dy / dx) = (-33) / (- 48) = 3/48 sau 0.6875.

Imaginea intitulată Face diferențierea implicită Pasul 6

Utilizați regula lanțului pentru funcțiile din cadrul altor funcții. Când vine vorba de probleme de calcul (inclusiv probleme de diferențiere implicită), este foarte important să cunoaștem regula lanțului. Regulă de lanț afirmă că pentru o funcție F (x) care poate fi scrisă ca (f sau g) (x), derivatul lui F (x) este egal cu f `(g (x)) g` (x). Pentru problemele de diferențiere implicită care au dificultăți mai mari, aceasta înseamnă că este posibilă diferențierea "părților" individuale ale ecuației și apoi asamblarea rezultatului.

Ca un exemplu simplu, să presupunem că aveți nevoie pentru a găsi derivat păcatului (3x + x), ca parte a unei probleme de diferențiere implicită pentru păcat mai mare ecuația (3x + x) + y = 0. Dacă luăm în considerare păcatul (3x + x) ca "f (x)" și 3x + x ca "g (x)", putem găsi diferențierea în felul următor:

f `(g (x)) g` (x)

(păcat (3x + x)) `× (3x + x)`

cos (3x + x) x (6x + 1)

(6x + 1) cos (3x + x)

Imaginea intitulată Face diferențierea implicită Pasul 7

Pentru ecuațiile cu variabilele x, y, z găsiți (dz / dx) și (dz / dy). Deși nu sunt comune în calculul de bază, unele aplicații avansate pot necesita diferențierea implicită a mai mult de două variabile. Pentru fiecare variabilă suplimentară, va trebui să găsiți un derivat suplimentar cu privire la x. De exemplu, dacă lucrați cu variabilele x, y, z, va trebui să găsiți (dz / dy) și (dz / dx). Putem face acest lucru prin diferențierea ecuației față de x de două ori. Prima dată vom plasa un (dz / dx) de fiecare dată când vom diferenția un termen cu z și al doilea vom plasa un (dz / dy) de fiecare dată când vom diferenția un z. Apoi, va fi o chestiune de rezolvare (dz / dx) și (dz / dy).

De exemplu, să presupunem că vrem să diferențiem xz - 5xyz = x + y.

În primul rând, să facem diferențierea în ceea ce privește x și loc (dz / dx). Nu uitați să aplicați regula produsului dacă este cazul!

xz - 5xyz = x + y

3xz + 2xz (dz / dx) - 5yz - 5xy (dz / dx) = 2x

3xz + (2xz-5xi) (dz / dx) - 5yz = 2x

(2xz - 5xi) (dz / dx) = 2x - 3xz + 5yz

(dz / dx) = (2x - 3xz + 5yz) / (2xz - 5xi)

Acum, să facem același lucru pentru (dz / dy)

xz - 5xyz = x + y

2xz (dz / dy) - 25xyz - 5xy (dz / dy) = 3y

(2xz-5xi) (dz / dy) = 3y + 25xyz

(dz / dy) = (3y + 25xyz) / (2xz-5xi)