Cum se grafice o funcție rațională

O funcție rațională este o ecuație care are forma y = N (

conținut

Pași
Sfaturi

x) / D (x), unde N și D sunt polinoame. Încercarea de a desena manual un grafic exact al uneia dintre ele implică o examinare exhaustivă a multor subiecte importante ale liceului, de la algebra de bază la calculul diferențial. Luați în considerare următorul exemplu: y = (2x - 6x + 5) / (4x + 2).

pași

Imaginea intitulată Grafică o funcție rațională Pasul 1

Găsiți intersecția cu și." Numai egal x = 0. Totul, cu excepția termenilor constanți, dispar, pleacă și = 5/2. Exprimând aceasta ca o pereche de coordonate, (0, 5/2) este un punct pe grafic. Afișați punctul.

Imaginea intitulată Grafică o funcție rațională Pasul 2

Găsiți asimptotul orizontal. diviza numitorul dintre numărător pentru a determina comportamentul lui și pentru valori mai mari și absolute ale lui x. În acest exemplu, divizia arată asta y = (1/2)x - (7/4) + 17 / (8x + 4). Pentru valori pozitive sau negative mari de x, 17 / (8x + 4) se apropie de zero și graficul se apropie de linie y = (1/2)x - (7/4). Folosind o linie punctată sau foarte subțire, următoarea linie este reprezentată grafic.

În cazul în care grad a numărătorului este mai mică decât gradul numitor, nu poate fi divizată, iar asimptotul rămâne ca y = 0

Dacă deg (N) = deg (D), asimptota este o linie orizontală a coeficientului principal al coeficienților.

Dacă deg (N) = deg (D) + 1, asimptota este o linie a cărei pantă este coeficientul principalilor coeficienți.

Dacă deg (N) > deg (D) + 1, apoi pentru valori mari ale lui |x |, și se îndreaptă repede către infinitul pozitiv sau negativ, ca un grad polinamic, cvadrat sau cubic. În acest caz, probabil că nu merită să comportați cu precizie coeficientul divizării.

Imaginea intitulată Graph a Function Rational Pasul 3

Găsiți zerourile. O funcție rațională are un zero atunci când numitorul său este zero, deci este egal cu N (x) = 0. În exemplu, 2x - 6x + 5 = 0. Distribuitorul acestui cadran este b - 4ac = 6 - 4 * 2 * 5 = 36 - 40 = -4. Deoarece discriminantul este negativ, N (x), și în consecință f (x), nu are rădăcini reale. Graficul nu traversează niciodată axa x. Dacă se găsește un zero, acele puncte trebuie adăugate în grafic.

Imaginea intitulată Grafică o funcție rațională Pasul 4

Găsiți asimptotele verticale. O asimptote verticală are loc atunci când numitorul este zero. Prin potrivirea cu 4x + 2 = 0 vă oferă linia verticală x = -1/2. Graficul fiecare asimptote verticale cu o linie foarte subțire sau punctată. Dacă orice valoare a x face atât N (x) = 0 ca D (x) = 0, pot exista sau nu pot fi asimptote verticale acolo. Acest lucru este ciudat, dar consultați sfatul despre ce trebuie făcut dacă se întâmplă acest lucru.

Imaginea intitulată Grafică o funcție rațională Pasul 5

Verificați risipa divizării în etapa 2. Când este pozitiv, negativ sau zero? În exemplul respectiv, numãrul restului este de 17, care este întotdeauna pozitiv. Numitorul, 4x + 2, este pozitiv la dreapta asimptotei verticale și negativ la stânga. Aceasta înseamnă că graficul abordează asimptota liniară de mai sus pentru valorile pozitive mari de x și mai jos pentru valori negative mari de x. Din 17 / (8x + 4) nu poate fi niciodată zero, acest grafic nu intersectează linia y = (1/2)x - (7/4). Nu adăugați nimic pentru grafic acum, însă luați în considerare aceste concluzii pentru mai târziu.

Imaginea intitulată Grafică o funcție rațională Pasul 6

Găsiți capetele locale. Un obiectiv final local poate apărea ori de câte ori N `(x) D (x) - N (x) D `(x) = 0. în exemplu, N `(x) = 4x - 6 și D `(x) = 4. N `(x) D (x) - N (x) D `(x) = (4x - 6) (4x + 2) - (2x - 6x + 5) * 4 = 0. Când îl extindeți, termenii de grup și împărțiți cu 4, rezultatul este următorul: x + x - 4 = 0. Formula quadratică are o rădăcină în apropiere x = 3/2 și x = -5 / 2. (Acestea diferă cu aproximativ 0,06 față de valoarea exactă, însă graficul nostru nu va fi suficient de precis pentru a vă îngrijora detaliile. Când alegeți o abordare rațională decentă, următorul pas va fi mai ușor.)

Imaginea intitulată Grafică o funcție rațională Pasul 7

Găsiți valoarea și pentru fiecare final local. Evaluați valorile x de la pasul anterior înapoi în funcția rațională originală pentru a găsi valoarea corespunzătoare a și. În exemplu, f (3/2) = 1/16 și f (-5/2) = -65/16. Adăugați aceste puncte, (3/2, 1/16) și (-5/2, -65/16), în grafic. Deoarece folosim valori aproximative în etapa anterioară, acestea nu vor fi maximele și minimele exacte, dar ele sunt foarte apropiate de acestea. (Știm că (3/2, 1/16) este foarte aproape de valoarea minimă locală. și este pozitiv oricând x > -1/2 și găsim o valoare de 1/16, deci cel puțin în acest caz, eroarea este probabil mai mică decât grosimea liniei.)

Imaginea intitulată Grafică o funcție rațională Pasul 8

Conectați punctele și extindeți graficul cu atenție prin punctele cunoscute la asimptote, având grijă să vă apropiați de direcția corectă. Aveți grijă să nu traversați arborele x, cu excepția punctelor găsite la pasul 3. Nu intersectați asimptotele orizontale sau liniare, cu excepția punctelor care au fost găsite la pasul 5. Nu schimbați de la panta în creștere la panta descrescătoare, cu excepția punctelor extreme găsite în pasul de mai sus.

sfaturi

În cazuri rare, numitorul și numitorul pot avea un factor comun care nu este constant. Dacă urmați pașii, acesta va fi afișat ca un asimptot zero și vertical în același loc. Deoarece acest lucru este imposibil, ceea ce se întâmplă de fapt este unul dintre următoarele cazuri:

Valoarea zero în N (x) are o multiplicitate mai mare decât zero în D (x). Graficul graficului f (x) se apropie de zero în acest moment, dar nu este definit acolo. Acest lucru este indicat de un cerc necompletat în jurul punctului.
Valoarea zero în N (x) și zero în D (x) au aceeași multiplicitate. Graful se apropie de un punct diferit de zero pentru această valoare de x, dar nu este definit acolo. Din nou, acest lucru este indicat de un cerc deschis.
Valoarea zero în N (x) are o multiplicitate mai mică decât zero în D (x). Aici este un asimptot vertical.

Unele dintre aceste etape pot implica rezoluția unui polinom de grad mai mare. Dacă nu găsiți soluții exacte prin factoring, formule sau alte mijloace, atunci estimați soluția utilizând tehnici numerice, cum ar fi metoda lui Newton.

Dacă urmați acești pași în ordine, de obicei nu va fi necesar să utilizați, de asemenea, teste derivate de gradul doi sau metode potențial complicate similare pentru a determina dacă valorile critice sunt maxime locale, minime locale sau niciuna dintre cele de mai sus. Încercați să utilizați informațiile din pașii anteriori și mai întâi o mică logică.

Dacă încercați să faceți acest lucru numai cu metode precalculus, puteți înlocui pașii pentru găsirea capetelor locale prin calcularea mai multor perechi ordonate suplimentare (x, y) între fiecare pereche de asimptote. Alternativ, dacă nu vă pasă cum se întâmplă, nu există niciun motiv pentru care un student pre-calcul să nu poată lua derivatul unui polinom și să rezolve N `(x) D (x) - N (x) D `(x) = 0.

Distribuiți pe rețelele sociale:

înrudit